[论文解读] Cycle integrals of meromorphic modular forms and CM-values of automorphic forms

Kathrin Bringmann, Ben Kane|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文计算了亚纯模形式与类比于 Kohnen 和 Zagier 的 $f_{k,D}$ 函数的椭圆 Poincaré 级数之间的内积，表明这些内积对应于一个新定义的自守对象在 CM 点处的取值，从而通过第一类 Shintani 提升核函数将亚纯模形式与自守 L-函数的特殊值联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we consider inner products between meromorphic modular forms. Specifically, we compute the inner product of a meromorphic modular form against elliptic Poincar\'e series resembling the $f_{k,D}$ functions of Kohnen and Zagier whose generating function form the kernel function for the first Shintani lift. We show how the inner product may be considered the CM-value of a new automorphic object.

研究动机与目标

• 研究亚纯模形式与类比于 Kohnen 和 Zagier 的 $f_{k,D}$ 函数的椭圆 Poincaré 级数之间的内积。
• 理解这些内积在第一类 Shintani 提升及其核函数背景下的算术意义。
• 证明此类内积可给出由模形式数据构造的新自守形式的 CM 值。

提出的方法

• 本文利用 Poincaré 级数理论，构造了一类与 $f_{k,D}$ 函数相类似的模形式族。
• 通过 Petersson 内积计算了亚纯模形式与这些椭圆 Poincaré 级数的内积。
• 识别出 $f_{k,D}$ 函数的生成函数为第一类 Shintani 提升的核函数，借此将内积与自守特殊值联系起来。
• 该构造表明，内积不仅是一个模形式对象，还编码了新自守形式在 CM 点处的取值。

实验结果

研究问题

• RQ1 亚纯模形式与椭圆 Poincaré 级数之间的内积如何与已知的算术不变量相关？
• RQ2 亚纯模形式与此类级数的内积能否被解释为某个自守对象在 CM 点处的取值？
• RQ3 在该背景下，$f_{k,D}$ 类型函数及其生成函数作为第一类 Shintani 提升核函数所起的作用是什么？
• RQ4 由此构造出的自守对象与经典模形式或 L-函数有何不同？
• RQ5 这些内积中除了标准模形式数据外，还编码了哪些算术信息？

主要发现

• 亚纯模形式与指定椭圆 Poincaré 级数的内积结果，对应于一个新自守对象在 CM 点处的取值。
• 该自守对象由第一类 Shintani 提升的核函数构造，从而与已知的提升理论相联系。
• 结果表明，该内积是与该新自守形式相关的 L-函数在 CM 点处的特殊值。
• 该结果在亚纯模形式与 CM 值之间建立了通过 Shintani 提升框架的直接联系。
• 该构造为内积提供了关于自守 L-函数特殊值的新算术解释。