[论文解读] D-bar Spark Theory and Deligne Cohomology

Ning Hao|ArXiv.org|Aug 12, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文通过引入 $p$ 阶 D-bar 星复形，将 Harvey-Lawson 的星理论推广至复流形，利用星形表示 Deligne 上同调类，并建立显式的解析乘积公式。文中定义了 Deligne 上同调中的精化陈类，证明了关于全纯叶状结构的 Bott 型消去定理，并通过基于曲率与联络插值构造的 Nadel 型不变量，给出了 Nadel 猜想的新证明。

ABSTRACT

We study the Harvey-Lawson spark characters of level p on complex manifolds. Presenting Deligne cohomology classes by sparks of level $p$, we give an explicit analytic product formula for Deligne cohomology. We also define refined Chern classes in Deligne cohomology for holomorphic vector bundles over complex manifolds. Applications to algebraic cycles are given. A Bott-type vanishing theorem in Deligne cohomology for holomorphic foliations is established. A general construction of Nadel-type invariants is given together with a new proof of Nadel's conjecture.

研究动机与目标

• 将 Harvey-Lawson 的 1 阶星字符推广至复流形上任意阶 $p$。
• 通过 $p$ 阶 Dolbeault-Federer 星复形与 $p$ 阶 Čech-Dolbeault 星复形，表示 Deligne 上同调类。
• 利用星复形构造 Deligne 上同调的显式解析乘积公式。
• 在 Deligne 上同调中为全纯向量丛定义精化陈类。
• 建立关于全纯叶状结构的 Bott 型消去定理，并通过新构造的 Nadel 型不变量证明 Nadel 猜想。

提出的方法

• 将 $p$ 阶 Dolbeault-Federer 星复形定义为 de Rham-Federer 复形的截断。
• 通过具有光滑微分形式与整系数 Čech 上链的 Čech-de Rham 双复形，构造 $p$ 阶 Čech-Dolbeault 星复形。
• 定义 $p$ 阶 Čech-Dolbeault 超星形，以模型化具有解析代表元的 Deligne 上同调。
• 通过涉及星形的楔积公式，在 Deligne 上同调上建立环结构，利用横截性与几何测度论确保其良好定义。
• 通过从 $\nabla_0$ 到 $\nabla_1$ 的路径上联络插值，定义曲率形式 $\Omega_t$，并导出微分特征差 $\hat{\Phi}_0 - \hat{\Phi}_1 = [T_\Phi]$。
• 将所得形式 $T_\Phi$ 投影至 $H^{2k-1}(X,\mathcal{O})/H^{2k-1}(X,\mathbb{Z})$，以定义第 $k$ 个 Nadel 不变量 $\mathscr{E}^k(E,F)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Harvey-Lawson 的星理论如何推广至复流形上任意阶 $p$？
• RQ2 能否在 Dolbeault 与 Čech-Dolbeault 设置下，通过星复形显式表示 Deligne 上同调类？
• RQ3 Deligne 上同调的解析乘积公式在 $p$ 阶星形下如何表达？
• RQ4 如何在 Deligne 上同调中为全纯向量丛定义精化陈类？
• RQ5 关于全纯叶状结构的 Deligne 上同调类是否存在 Bott 型消去定理？Nadel 猜想能否通过新构造的不变量得到证明？

主要发现

• 本文利用 $p$ 阶星形构造了 Deligne 上同调上的环结构，并给出了显式的解析乘积公式，推广了 de Rham-Federer 方法。
• 通过同构 $C^\infty$ 满丛上联络对应的 Cheeger-Simons 特征差，定义了全纯向量丛在 Deligne 上同调中的精化陈类。
• 为与全纯叶状结构相关的 Deligne 上同调类建立了 Bott 型消去定理。
• 第 $k$ 个 Nadel 不变量 $\mathscr{E}^k(E,F)$ 被证明是星类 $\hat{\mathscr{E}}^k(E,F)$ 在投影 $\pi: \mathcal{J}^k \to H^{2k-1}(X,\mathcal{O})/H^{2k-1}(X,\mathbb{Z})$ 下的像，从而证实了 Nadel 猜想。
• Nadel 型不变量 $\hat{\mathscr{E}}^k(E,F)$ 显式表示为 $k!$ 倍的第 $k$ 个微分陈特征差，其代表形式为 $\pi_k(k\int_0^1 \operatorname{tr}(\eta \wedge \Omega_t^{k-1}) dt)$。