[论文解读] D-branes and Azumaya/matrix noncommutative differential geometry, I: D-branes as fundamental objects in string theory and differentiable maps from Azumaya/matrix manifolds with a fundamental module to real manifolds

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 137被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于阿兹马亚/矩阵流形及其基本模的微分几何框架，用于弦理论中的D膜，建立了到实流形的$C^k$-光滑映射。该框架定义了拉格朗日、特殊拉格朗日及$J$-全纯映射，使得D膜可被几何地描述为基本对象，包括通过幂零陈-帕顿层和拉格朗日圈的概型论变形实现的T膜构型。

ABSTRACT

We consider D-branes in string theory and address the issue of how to describe them mathematically as a fundamental object (as opposed to a solitonic object) of string theory in the realm in differential and symplectic geometry. The notion of continuous maps, $k$-times differentiable maps, and smooth maps from an Azumaya/matrix manifold with a fundamental module to a (commutative) real manifold $Y$ is developed. Such maps are meant to describe D-branes or matrix branes in string theory when these branes are light and soft with only small enough or even zero brane-tension. When $Y$ is a symplectic manifold (resp. a Calabi-Yau manifold; a $7$-manifold with $G_2$-holonomy; a manifold with an almost complex structure $J$), the corresponding notion of Lagrangian maps (resp. special Lagrangian maps; associative maps, coassociative maps; $J$-holomorphic maps) are introduced. Indicative examples linking to symplectic geometry and string theory are given. This provides us with a language and part of the foundation required to study themes, new or old, in symplectic geometry and string theory, including (1) $J$-holomorphic D-curves (with or without boundary), (2) quantization and dynamics of D-branes in string theory, (3) a definition of Fukaya category guided by Lagrangian maps from Azumaya manifolds with a fundamental module with a connection, (4) a theory of fundamental matrix strings or D-strings, and (5) the nature of Ramond-Ramond fields in a space-time. The current note D(11.1) is the symplectic/differential-geometric counterpart of the more algebraic-geometry-oriented first two notes D(1) ([L-Y1]) (arXiv:0709.1515 [math.AG]) and D(2) ([L-L-S-Y], with Si Li and Ruifang Song) (arXiv:0809.2121 [math.AG]) in this project.

研究动机与目标

• 通过利用阿兹马亚/矩阵流形开发微分几何框架，将D膜确立为弦理论中的基本对象，而不仅仅是孤立态。
• 定义从带有基本模的阿兹马亚流形到实流形的可微映射（包括$C^k$和光滑映射），以建模轻量或软性D膜。
• 在矩阵几何背景下引入拉格朗日、特殊拉格朗日、关联、共关联及$J$-全纯映射等几何概念。
• 为辛几何与弦理论中的新构造奠定基础，包括福吉卡范畴、量化D膜动力学及基本矩阵弦。
• 探讨Ramond-Ramond场的作用以及非约支撑（如幂零结构）在D膜构型中的本质。

提出的方法

• 发展了从带有基本模的阿兹马亚/矩阵流形到实流形的$C^k$-映射概念，推广了微分几何中的光滑映射。
• 引入阿兹马亚代数上基本模的概念，作为向量丛的非交换类比。
• 将特殊拉格朗日映射定义为从阿兹马亚流形到卡拉比-丘流形的映射，其在非交换设定下满足校准条件。
• 通过基本模上连接的前推，定义了图像上的平坦连接，即使图像是非约的也成立。
• 通过环同态$C^\infty({\bb C}^1) \to M_{3\times 3}(C^\infty({\bb R}^1)^\bb C)$构造显式例子，以建模具有幂零作用的T膜构型。
• 分析特殊拉格朗日映射的形变，表明光滑映射可退化为具有幂零滤子的非约图像。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过非交换微分几何，数学地描述D膜作为弦理论中的基本对象？
• RQ2 当D膜携带具有非平凡结构的陈-帕顿层（特别是幂零结构）时，拉格朗日子流形的正确推广是什么？
• RQ3 能否通过带有基本模的阿兹马亚流形的映射实现拉格朗日圈的概型论形变？
• RQ4 T膜构型（以幂零Higgs丛为特征）如何自然地出现在该框架中？
• RQ5 在这些映射下，模的前推中平坦连接与滤子的作用是什么？

主要发现

• 本文构造了一族从带有基本模的阿兹马亚实线到$\bb C^1$的光滑映射$\varphi_t^{(4)}$，当$t>0$时，该映射将模分裂为三个秩-1子模。
• 当$t=0$时，映射$\varphi_0^{(4)}$诱导出一个非约图像$Z_0^{(4)}$，其支撑于特殊拉格朗日直线$L_{0,0}$上，重数为3。
• $\varphi_{0*}^{(4)}\cal E$是$Z_0^{(4)}$上的一个秩-1层，具有平坦连接，并且该连接保持滤子。
• 幂零理想层$\cal I_{L_{0,0}}$由$y^2$生成，满足$\cal I_{L_{0,0}}^3 = 0$，且滤子$0 \subset \cal I^2 \cdot \varphi_*\cal E \subset \cal I \cdot \varphi_*\cal E \subset \varphi_*\cal E$被连接保持。
• 极限映射$\varphi_0^{(4)}$实现了T膜构型，其中$y^2$在前推模上作为幂零算子作用。
• 该构造展示了类似概型论的拉格朗日圈形变，其中约化图像保持不变，但非约结构（幂零云）在形变过程中发生变化。