[论文解读] Moduli of J-Holomorphic Curves with Lagrangian Boundary Conditions and Open Gromov-Witten Invariants for an $S^1$-Equivariant Pair

Chiu-Chu Melissa Liu|ArXiv.org|Oct 17, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用 78

一句话总结

本文在具有拉格朗日子流形边界条件的 J-全纯曲线的模空间上构建了带角的 Kuranishi 结构，证明了在 C^∞-拓扑下的紧致性与豪斯多夫性。对于虚拟维数为零的 S¹-等变对，定义了开 Gromov-Witten 不变量为有理数欧拉数，猜想其与局部化计算结果一致。

ABSTRACT

Let $(X,ω)$ be a symplectic manifold, $J$ be an $ω$-tame almost complex structure, and $L$ be a Lagrangian submanifold. The stable compactification of the moduli space of parametrized $J$-holomorphic curves in $X$ with boundary in $L$ (with prescribed topological data) is compact and Hausdorff in Gromov's $C^\infty$-topology. We construct a Kuranishi structure with corners in the sense of Fukaya and Ono. This Kuranishi structure is orientable if $L$ is spin. In the special case where the expected dimension of the moduli space is zero, and there is an $S^1$ action on the pair $(X,L)$ which preserves $J$ and acts freely on $L$, we define the Euler number for this $S^1$ equivariant pair and the prescribed topological data. We conjecture that this rational number is the one computed by localization techniques using the given $S^1$ action.

研究动机与目标

• 为边界位于拉格朗日子流形上的 J-全纯曲线严格定义开 Gromov-Witten 不变量。
• 在 C^∞-拓扑下建立具有拉格朗日子流形边界条件的稳定映射的紧致、豪斯多夫模空间。
• 在该模空间上构建带角的 Kuranishi 结构，并在拉格朗日子流形为旋状时证明其可定向性。
• 当虚拟维数为零时，对 S¹-等变对定义一个欧拉数不变量，猜想其与局部化结果一致。
• 为开 Gromov-Witten 不变量提供一个基础框架，可用于检验弦理论中的物理预测。

提出的方法

• 使用 Gromov 的 C^∞-拓扑对边界位于拉格朗日子流形上的 J-全纯曲线的模空间进行紧化。
• 通过带边黎曼曲面的形变理论与节点曲线的粘合技术，构建带角的 Kuranishi 结构。
• 应用 Kuranishi 方法稳定映射，利用 W^{k,p} 映射与虚拟维数公式控制模空间。
• 对对 (X,L) 强制 S¹-等变性，通过局部化方法定义欧拉数不变量，假设虚拟维数为零。
• 依赖 Schwartz 反射原理，将边界位于 L 上的全纯映射与紧致黎曼曲面上的全纯映射联系起来。
• 猜想通过此构造计算出的欧拉数与涉及模空间上 Hodge 线丛和 ψ-类的局部化计算结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有拉格朗日子流形边界条件的 J-全纯曲线构造一个定义良好、紧致且可定向的模空间？
• RQ2 该模空间上是否存在带角的 Kuranishi 结构，且当拉格朗日子流形为旋状时是否可定向？
• RQ3 当虚拟维数为零时，能否为 S¹-等变对定义一个开 Gromov-Witten 不变量？
• RQ4 通过此构造计算出的欧拉数不变量是否与通过局部化技术获得的结果等价？
• RQ5 在一般情况下，如何推广边界条件以消除 S¹-等变性这一限制性假设？

主要发现

• 具有拉格朗日子流形边界条件的 J-全纯曲线的模空间在 C^∞-拓扑下是紧致且豪斯多夫的。
• 在该模空间上构建了带角的 Kuranishi 结构，且当拉格朗日子流形为旋状时该结构是可定向的。
• 对于虚拟维数为零的 S¹-等变对，定义了一个以有理数表示的欧拉数不变量。
• 猜想不变量 $ C(g;h|d;n_1,\ldots,n_h|a) $ 满足对偶关系：$ (-1)^{d-h}C(g;h|d;n_1,\ldots,n_h|a) = C(g;h|d;n_1,\ldots,n_h|1-a) $。
• 在亏格 0 时，该不变量为 $ (a(1-a))^{h-1} \prod_{i=1}^{h} \binom{n_i a - 1}{n_i - 1} d^{h-3} $，与局部化结果一致。
• 在更高亏格时，该不变量表示为 $ \overline{M}_{g,h} $ 上的积分，涉及 Hodge 线丛与 ψ-类的示性类。