[论文解读] D-Branes And Mirror Symmetry

Kentaro Hori, Amer Iqbal+1 more|ArXiv.org|May 25, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 63被引用 385

一句话总结

本文建立了一套几何与代数框架，将N=2超对称理论中的D膜与镜像对称联系起来，证明了凯勒流形上的全纯D膜对应于朗道-金兹堡（LG）镜像理论中的拉格朗日子膜。该研究通过D膜相交数几何实现了SU(2) WZW模型的维尔林德代数，并通过皮卡德-列夫谢茨单值性将大质量LG理论中的孤子数与R-荷联系起来。

ABSTRACT

We study (2,2) supersymmetric field theories on two-dimensional worldsheet with boundaries. We determine D-branes (boundary conditions and boundary interactions) that preserve half of the bulk supercharges in non-linear sigma models, gauged linear sigma models, and Landau-Ginzburg models. We identify a mechanism for brane creation in LG theories and provide a new derivation of a link between soliton numbers of the massive theories and R-charges of vacua at the UV fixed point. Moreover we identify Lagrangian submanifolds that arise as the mirror of certain D-branes wrapped around holomorphic cycles of Kähler manifolds. In the case of Fano varieties this leads to the explanation of Helix structure of the collection of exceptional bundles and soliton numbers, through Picard-Lefshetz theory applied to the mirror LG theory. Furthermore using the LG realization of minimal models we find a purely geometric realization of Verlinde Algebra for SU(2) level k as intersection numbers of D-branes. This also leads to a direct computation of modular transformation matrix and provides a geometric interpretation for its role in diagonalizing the Fusion algebra.

研究动机与目标

• 为具有边界条件的(2,2)超对称场论中保留一半超对称性的D膜提供系统性描述。
• 在凯勒流形上的全纯D膜与朗道-金兹堡理论中的拉格朗日子膜之间建立镜像对应关系。
• 通过LG模型中D膜相交数，为维尔林德代数和模S矩阵提供几何解释。
• 阐明大质量LG理论中的孤子数与紫外固定点处标量场R-荷之间的联系。
• 通过将镜像对称与皮卡德-列夫谢茨理论应用于LG镜像，解释法诺流形上例外丛的螺旋结构。

提出的方法

• 利用超对称性约束分析N=2超对称sigma模型、朗道-金兹堡（LG）模型及规范线性sigma模型中的BPS边界条件。
• 应用皮卡德-列夫谢茨理论计算非紧致循环中消失循环的单值性与相交数。
• 利用周期积分与边界熵表征LG模型中的边界态，将其与Ramond荷联系起来。
• 通过参数变形下的单值性与R-荷流推导大质量LG理论中D膜生成机制。
• 构建凯勒流形中全纯循环与LG镜像中拉格朗日子流形之间的镜像映射，尤其针对法诺流形。
• 应用N=2极小模型的LG描述，将维尔林德代数几何实现为D膜相交数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有边界条件的(2,2)超对称场论中，保留一半体超荷的D膜如何产生？
• RQ2 凯勒流形上的全纯D膜与LG理论中拉格朗日子膜之间的确切镜像对应关系是什么？
• RQ3 SU(2)在水平k下的维尔林德代数如何通过LG模型中D膜相交的几何方式实现？
• RQ4 大质量LG理论中孤子数与标量场R-荷之间联系的根源是什么？
• RQ5 在镜像LG侧应用皮卡德-列夫谢茨理论，如何解释法诺流形上例外丛的螺旋结构？

主要发现

• SU(2) WZW模型在水平k下的维尔林德代数被几何实现为极小模型LG镜像中D膜的相交矩阵。
• SU(2) WZW模型的模S矩阵被直接计算为D膜基态之间的转移矩阵，从而为该矩阵在对角化融合代数中的作用提供了几何解释。
• 对于法诺流形，例外丛的螺旋结构通过镜像LG理论中消失循环上的皮卡德-列夫谢茨单值性得以解释。
• 大质量LG理论中的孤子数通过消失循环的相交矩阵计算得出，对 $\mathbb{P}^2$、$\mathcal{B}_1$、$\mathcal{B}_2$、$\mathcal{B}_3$ 以及 $F_0 = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 明确推导出矩阵表达式。
• 对 $\mathbb{P}^2$ 的相交矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，与标量环的Ramond荷结构完全一致。
• 大质量LG理论中的D膜生成被证明源于参数流下循环结构的单值性诱导变化，与R-荷演化相关联。