[论文解读] D-branes of A-type, their deformations, and Morse cobordism of A-branes on Calabi-Yau 3-folds under a split attractor flow: Donaldson/Alexander-Hilden-Lozano-Montesinos-Thurston/Hurwitz/Denef-Joyce meeting Polchinski-Grothendieck

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 90被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于阿兹马亚流形及其基本模与酉极小平坦联络的卡拉比-丘3流形上A型D-膜的几何框架，统一了唐纳森的特殊拉格朗日子流形理论与波尔奇尼-格罗滕迪克的假设。该研究证明，嵌入的特殊拉格朗日子流形可作为阿兹马亚3-球面到复流形的态射像而出现，从而实现了D3-膜路径积分的类基因展开，并通过莫尔斯cobordism与分裂吸引子流描述了膜的转变过程。

ABSTRACT

In [L-Y5] (D(6): arXiv:1003.1178 [math.SG]) we introduced the notion of Azumaya $C^{\infty}$-manifolds with a fundamental module and morphisms therefrom to a complex manifold. In the current sequel, we use this notion to give a prototypical definition of supersymmetric D-branes of A-type (i.e. A-branes) -- in an appropriate region of the Wilson's theory-space of string theory -- as special Lagrangian morphisms from such objects with a unitary, minimally flat connection-with-singularities. This merges Donaldson's picture of special Lagrangian submanifolds and the Polchinski-Grothendieck Ansatz for D-branes on a Calabi-Yau space. Basic phenomena of D-branes such as Higgsing/un-Higgsing and large- vs. small-brane wrapping can be realized via deformations of such morphisms. Classical results of Alexander, Hilden, Lozano, Montesinos, and Thurston suggest then a genus-like expansion of the path-integral of D3-branes. Similarly for D2-branes and M2-branes. In the last section, we use the technical results of Joyce on desingularizations of special Lagrangian submanifolds with conical singularities to explain how A-branes thus defined can be driven and re-assemble under a split attractor flow, as studied in an earlier work of Denef. This section is to be read with arXiv:hep-th/0107152 of Denef and arXiv:math.DG/0303272 of Joyce.

研究动机与目标

• 在弦理论中将A型D-膜定义为从具有酉极小平坦联络的阿兹马亚流形出发的特殊拉格朗日态射。
• 将唐纳森的特殊拉格朗日子流形图像与卡拉比-丘空间中D-膜的波尔奇尼-格罗滕迪克假设统一起来。
• 通过阿兹马亚空间的态射变形来描述Higgsing/un-Higgsing与膜包裹转变。
• 利用莫尔斯cobordism与分支覆盖结构，建立卡拉比-丘3流形上D3-膜路径积分的类基因展开。
• 使用乔伊思对具有锥形奇点的特殊拉格朗日子流形的去奇异化技术，建模分裂吸引子流下D-膜的组装与拆解过程。

提出的方法

• 使用具有基本模的光滑阿兹马亚$C^{ty}$-流形，将A-膜定义为具有酉极小平坦联络的复流形上的态射。
• 应用关于3-流形分支覆盖$S^3$的经典结果，证明任何带有平坦酉丛的嵌入特殊拉格朗日子流形均可作为阿兹马亚3-球面上的态射像而出现。
• 构造流形的莫尔斯cobordism，并将其推广为阿兹马亚流形与到复流形的态射的莫尔斯cobordism。
• 利用乔伊思对具有锥形奇点的特殊拉格朗日子流形的去奇异化理论，建模反向分裂吸引子流下的D-膜重装过程。
• 将卡拉比-丘流形中特殊拉格朗日循环的锥定义为路径积分展开的关键几何对象。
• 利用$N^{s,t}$上的$L^2$-范数估计与投影算子，控制形变后的拉格朗日子流形与特殊拉格朗日子流形的接近程度，其界依赖于参数$t$、$\tau$以及依赖于$\tau$的衰减速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧化的卡拉比-丘3流形上，如何通过具有基本模与酉极小平坦联络的阿兹马亚流形的态射，几何地定义IIB型弦理论中的A-膜？
• RQ2 莫尔斯cobordism在描述A-膜的形变与转变（包括Higgsing与膜包裹转变）中起什么作用？
• RQ3 在稳定边界处的分裂吸引子流如何驱动D-膜的拆解与重装？这一过程如何通过乔伊思的去奇异化技术建模？
• RQ4 卡拉比-丘3流形上D3-膜的路径积分能否展开为类似于弦路径积分的类基因级数？其背后的几何结构是什么？
• RQ5 对锥形奇点与粘合参数($\tau$, $\delta_0$, $\delta_i$)需满足何种条件，才能保证存在具有受控$L^2$-范数衰减的$C^k$-正则化特殊拉格朗日近似？

主要发现

• 任何在卡拉比-丘3流形上带有复向量丛与酉平坦联络的嵌入特殊拉格朗日子流形，都是从具有基本模与酉极小平坦联络的阿兹马亚3-球面出发的特殊拉格朗日态射的像。
• 此类态射的存在性由亚历山大、平托、蒙特斯inos与瑟斯顿关于3-流形分支覆盖$S^3$的经典定理保证，为该构造提供了拓扑基础。
• 阿兹马亚流形的态射形变实现了A-膜理论中的Higgsing/un-Higgsing与大-小膜包裹转变。
• 基于莫尔斯cobordism与特殊拉格朗日循环锥，提出了D3-膜路径积分的类基因展开，其形式类似于弦的基因展开。
• 在反向分裂吸引子流下，D-膜可通过具有锥形奇点的特殊拉格朗日子流形的乔伊思去奇异化实现拆解与重装，且通过误差$\varepsilon^{s,t}$的$L^2$-范数界实现定量控制。
• 当$\delta_0$与$\delta_i$足够小时，且满足$\delta_i > (1 + m/2) \delta_0 / (1 - \delta_0)$与$\delta_0 < 1/(m+1)$时，$\kappa > 1$的不等式组有非空解，使得$\kappa$可任意接近1，从而保证存在具有受控衰减的$C^k$-正则化近似。