[论文解读] $d_p$ convergence and $\epsilon$-regularity theorems for entropy and scalar curvature lower bounds

Man-Chun Lee, Aaron Naber+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文引入了 $d_p$ 收敛——一种针对具有近乎非负标量曲率与熵的黎曼流形的新收敛概念，表明在该框架下，此类空间会收敛至欧几里得空间。本文建立了 $\epsilon$-正则性定理与紧致性结果，证明了经典收敛概念（如 Gromov-Hausdorff 或内在平坦收敛）因距离函数的病态行为而失效，而 $d_p$ 收敛则在弱曲率界下保持了分析与几何结构。

ABSTRACT

Consider a sequence of Riemannian manifolds $(M^n_i,g_i)$ with scalar curvatures and entropies bounded below by small constants $R_i,\mu_i \geq-\epsilon_i$. The goal of this paper is to understand notions of convergence and the structure of limits for such spaces. Even in the seemingly rigid case $\epsilon_i o 0$, we construct examples showing that such a sequence may converge wildly in the Gromov-Hausdorff or Intrinsic Flat sense. On the other hand, we will see that these classical notions of convergence are the incorrect ones to consider. Indeed, even a metric space is the wrong underlying category to be working on. Instead, we introduce $d_p$ convergence, a weaker notion of convergence that is valid for a class of rectifiable Riemannian spaces. These rectifiable spaces have well-behaved topology, measure theory, and analysis, though potentially there will be no reasonably associated distance function. Under the $d_p$ notion of closeness, a space with almost nonnegative scalar curvature and small entropy bounds must in fact be close to Euclidean space; this will constitute our $\epsilon$-regularity theorem. More generally, we have a compactness theorem saying that sequences of Riemannian manifolds $(M^n_i,g_i)$ with small lower scalar curvature and entropy bounds $R_i,\mu_i \geq -\epsilon$ must $d_p$ converge to such a rectifiable Riemannian space $X$. Comparing to the first paragraph, the distance functions of $M_i$ may be degenerating, even though in a well-defined sense the analysis cannot be. Applications for manifolds with small scalar and entropy lower bounds include an $L^\infty$-Sobolev embedding and apriori $L^p$ scalar curvature bounds for $p<1$.

研究动机与目标

• 解决经典收敛概念（Gromov-Hausdorff 或内在平坦收敛）在具有近乎非负标量曲率与熵的流形序列中失效的问题。
• 解决在曲率界约束下距离函数退化的问题，该问题破坏了标准几何收敛性。
• 引入一种新的收敛框架——$d_p$ 收敛，通过以 $W^{1,p}$-控制替代 $W^{1,\infty}$-控制来保持函数上的分析与几何结构。
• 建立 $\epsilon$-正则性定理，表明在标量曲率与熵界较小的流形中，必须在 $d_p$ 收敛下接近欧几里得空间。
• 证明全局紧致性定理，表明在标量曲率与熵有小下界时，序列在 $d_p$ 收敛下收敛至一个可折线化的黎曼空间。

提出的方法

• 将黎曼流形上的 $d_p$ 距离定义为 $d_p(x,y) = \sup \left\{ |f(x) - f(y)| : \int_M |\nabla f|^p \, d\text{vol}_g \leq 1 \right\}$，其中 $p \in (n, \infty]$，当 $p \to \infty$ 时，该定义推广了标准距离函数。
• 引入可折线化黎曼空间作为 $d_p$ 收敛的极限类别，这类空间即使可能缺乏标准距离函数，仍支持良好行为的拓扑、测度论与分析。
• 证明在 $d_p$ 收敛下，标量曲率与熵下界为 $-\epsilon_i$ 的流形必须在 $\epsilon_i \to 0$ 时收敛至欧几里得空间，从而确立 $\epsilon$-正则性定理。
• 利用度量系数的加权 $L^p$ 估计与积分 Ricci/标量曲率界来控制空间的几何结构。
• 应用 Moser 迭代与最大值原理技术，控制熵泛函极小化子的增长与衰减。
• 通过缩放度量与微分同胚的爆破论证分析极限行为，表明若极限非欧几里得，则熵无法在极限中保持远离零，从而导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典收敛概念（如 Gromov-Hausdorff 或内在平坦收敛）能否捕捉具有近乎非负标量曲率与熵的流形的正确几何极限？
• RQ2 为何在该背景下基于距离的标准收敛概念会失效，极限空间中会出现何种结构性问题？
• RQ3 是否存在一种新的收敛框架，可在标量曲率与熵下界约束下保持分析与几何结构？
• RQ4 在此设定下，$\epsilon$-正则性定理是否成立，确保近乎非负曲率意味着接近欧几里得空间？
• RQ5 具有小标量曲率与熵界约束的流形序列的正确极限类别是什么？

主要发现

• 对于 $p \in (n, \infty]$，$d_p$ 距离函数是良定义的，并构成一个真正的度量，且当 $p \to \infty$ 时，$d_\infty$ 恢复标准测地距离。
• 经典收敛概念失效：标量曲率与熵下界为 $-\epsilon_i$ 的序列可能收敛至维度、拓扑各异，甚至具有 Finsler 型几何的极限空间。
• 在 $d_p$ 收敛下，任何标量曲率与熵 $\geq -\epsilon_i$ 的流形序列都必须在 $\epsilon_i \to 0$ 时 $d_p$-收敛至欧几里得空间，从而确立了强有力的 $\epsilon$-正则性定理。
• 在 $d_p$ 收敛下，极限空间是一个可折线化黎曼空间，其 $W^{1,p}$ 理论、梯度与绝对连续曲线均表现良好，即使缺乏标准距离函数。
• 熵泛函在极限中无法保持远离零；若假设 $\mu(\tau_i^{-1}g_i,1) = -\eta < 0$，则通过紧致性与极小化子的 $L^p$ 收敛可导出矛盾。
• 熵泛函极小化子的极限位于 $W^{1,2}(\mathbb{R}^{n+1})$ 中，且必须满足一个 Euler-Lagrange 方程，从而推出 $\mu_\infty = 0$，与 $\mu_i = -\eta$ 对大 $i$ 矛盾。