[论文解读] Dalian notes on rational Pontryagin classes

Michael Weiss|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 45被引用 5

一句话总结

本文证明了，尽管在正交群的分类空间上同调中，有理庞特里亚金类满足众所周知的消失关系，但在欧氏空间的同胚同胚的拓扑群的分类空间上同调中，这些关系不成立。具体而言，对于足够大的 $ n $ 和 $ k < 5n/4 - c_2 $，类 $ p_{n+k} $ 在 $ H^{4n+4k}(B\textup{TOP}(2n);\mathbb{Q}) $ 中非零，这与经典向量丛关系相矛盾。

ABSTRACT

The rational Pontryagin classes, evaluated on fiber bundles where the fiber is a 2n-dimensional euclidean space, can be nonzero in cohomology dimensions much greater than 4n. This makes a striking contrast with the Pontryagin classes of vector bundles.

研究动机与目标

• 研究经典向量丛理论中关于有理庞特里亚金类的消失关系是否可推广至更广泛的、纤维为 $ \mathbb{R}^m $ 的拓扑纤维丛设定。
• 确定在 $ B\textup{SO}(2n) $ 中成立的关系 $ p_n = e^2 $ 和 $ p_{n+k} = 0 $ 是否在 $ B\textup{TOP}(2n) $ 和 $ B\textup{STOP}(2n) $ 的上同调中依然成立。
• 建立具有非零示性数但所有可分解庞特里亚金数为零的拓扑纤维丛的存在性，表明经典特征类约束的失效。
• 利用同伦论与谱论方法，提供经典关系失效的维度的显式下界。

提出的方法

• 利用 $ B\textup{O} $ 与 $ B\textup{TOP} $ 之间的有理同伦等价，使得有理庞特里亚金类可被拉回到 $ B\textup{TOP}(m) $，从而将其定义为拓扑丛的特征类。
• 应用拓扑流形的希策布鲁赫示性数定理，将切微丛解释为特征类的分类对象。
• 通过构造一个纤维为 $ W_g $（即 $ g $ 个 $ S^n \times S^n $ 的连通和）的纤维丛 $ E \to M $，实现非平凡特征类。
• 运用转移论证与有理上同调计算，证明当 $ n \geq 53 $ 且 $ k \leq \lfloor 3n/4 \rfloor $ 时，$ p_{n+k} \neq 0 $ 在 $ H^{4n+4k}(B\textup{TOP}(2n);\mathbb{Q}) $ 中成立。
• 应用第二玛瑟立方定理与导出映射空间的弱加法性，验证分类函子的同伦性质。
• 构造一个从流形到单纯空间的弱加法函子，通过纤维-纤维化替换满足主结果所需的同伦条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典消失关系 $ p_n = e^2 $ 和 $ p_{n+k} = 0 $ 在 $ H^*(B\textup{SO}(2n);\mathbb{Q}) $ 中是否可推广至 $ B\textup{TOP}(2n) $ 的上同调？
• RQ2 有理庞特里亚金类 $ p_{n+k} $ 是否可在 $ H^{4n+4k}(B\textup{TOP}(2n);\mathbb{Q}) $ 中非零（$ k > 0 $），从而与向量丛关系矛盾？
• RQ3 是否存在一个拓扑纤维丛，其示性数非零但所有可分解庞特里亚金数为零，表明经典特征类约束的失效？
• RQ4 使得 $ p_{n+k} \neq 0 $ 在 $ H^{4n+4k}(B\textup{TOP}(2n);\mathbb{Q}) $ 中成立的 $ n $ 和 $ k $ 的有效下界是什么？
• RQ5 经典关系的失效是否可通过一个光滑、稳定平行化的底流形与一个拓扑纤维丛实现几何化？

主要发现

• 当 $ n \geq 53 $ 且 $ k \leq \lfloor 3n/4 \rfloor $ 时，有理庞特里亚金类 $ p_{n+k} $ 在 $ H^{4n+4k}(B\textup{TOP}(2n);\mathbb{Q}) $ 中非零，与经典向量丛关系 $ p_{n+k} = 0 $ 矛盾。
• 当 $ n \geq 83 $ 且 $ k < 5n/4 - 11 $ 时，类 $ p_{n+k} $ 在 $ H^{4n+4k}(B\textup{TOP}(2n);\mathbb{Q}) $ 中非零，其中显式常数为 $ c_1 = 83 $，$ c_2 = 11 $。
• 当 $ n \geq 83 $ 且 $ k < 5n/4 - 11 $ 时，类 $ p_{n+k} $ 在 $ H^{4n+4k}(B\textup{STOP}(2n+2k);\mathbb{Q}) $ 中不等于 $ e^2 $，表明在拓扑设定下关系 $ p_n = e^2 $ 失效。
• 存在一个纤维丛 $ E \to M $，其底流形 $ M $ 为维度 $ 2n + 4k $ 的闭、稳定平行化的光滑流形，纤维为维度 $ 2n $ 的闭定向拓扑流形，示性数非零，且所有可分解庞特里亚金数为零。
• 构造中使用了 $ g $ 个 $ S^n \times S^n $ 的连通和 $ W_g $ 作为纤维，其中 $ g $ 足够大以实现非平凡特征类。
• 结果通过从 $ B\textup{TOP}(2n) $ 到 $ B\textup{STOP}(2n) $ 的转移得出，表明前者中的非零性蕴含后者中的非零性，从而证明 $ p_{n+k} = e^2 $ 的失效。