[论文解读] From manifolds to invariants of E_n-algebras

Ricardo Andrade|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用 24

一句话总结

本文通过将具有 $G$-结构的流形中的 $G$-增强嵌入空间推广到拓扑霍赫希尔德同调，引入了 $E_n$-代数的新一类不变量。它构建了 PROPs $\mathsf{E}^G_n$，并定义了导出余上同调不变量 $\mathbf{T}^G(A;M) = \mathsf{E}^G_n[M] \mathop{\otimes}^\mathsf{L}_{\mathsf{E}^G_n} A$，当 $G=1$ 且 $M=S^1$ 时恢复 THH，并建立了一个用于非交换庞加莱对偶性的图示性、同伦论框架。

ABSTRACT

This thesis represents the first step in an investigation of an interesting class of manifold-theoretic invariants of $E_n$-algebras which generalize topological Hochschild homology. The main goal of this thesis is to give a definition of the invariants, and analyse their geometric framework. These invariants have appeared in the work of Paolo Salvatore and Jacob Lurie (who calls them topological chiral homology), where they are involved in a sort of non-abelian Poincaré duality.

研究动机与目标

• 为 $E_n$-代数定义一个自然的、图示性的拓扑霍赫希尔德同调推广，以尊重旋转对称性和切向对称性。
• 解决标准循环巴尔构造中 THH 的不自然性问题，该问题未能捕捉到完整的 $S^1$-作用。
• 通过流形上黏着构型范畴的同伦上积构造 $E_n$-代数的不变量。
• 通过 $G$-增强嵌入和 PROPs $\mathsf{E}^G_n$，统一嵌入空间与 $E_n$-操作族的几何与代数结构。
• 建立与 Lurie 和 Salvatore 所探讨的非交换庞加莱对偶性兼容的框架。

提出的方法

• 引入空间 $X$ 上黏着构型的范畴 $\mathbb{M}(X)$，推广了 THH 中使用的循环范畴 $\mathcal{E}$。
• 将 $G$-增强嵌入空间定义为标准嵌入空间的变体，以编码流形上的切向 $G$-结构。
• 从这些 $G$-增强嵌入空间构造 PROPs $\mathsf{E}^G_n$，推广了小 $n$-圆盘 PROP。
• 为每个带有 $G$-结构的 $n$-流形 $M$，通过 $G$-增强嵌入空间构造右 $\mathsf{E}^G_n$-模 $\mathsf{E}^G_n[M]$。
• 在 $\mathbb{M}(M)$ 与 $\mathsf{E}^G_n[M]$ 的格罗滕迪克构造之间建立弱等价的锯齿形，连接构型范畴与模结构。
• 将不变量 $\mathbf{T}^G(A;M)$ 定义为导出余上同调 $\mathsf{E}^G_n[M] \mathop{\otimes}^\mathsf{L}_{\mathsf{E}^G_n} A$，其中 $A$ 为 $E_n$-代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一个尊重圆对称性全貌的图示性、同伦论框架，自然地将拓扑霍赫希尔德同调推广到 $E_n$-代数？
• RQ2 如何将嵌入到具有切向结构的流形中的几何数据编码为 $E_n$-代数的代数不变量？
• RQ3 是否存在一种自然方式，将一个带有 $G$-结构的流形与一个 PROPs $\mathsf{E}^G_n$ 的右模相关联，从而推广小圆盘构造？
• RQ4 流形 $M$ 上的黏着构型范畴 $\mathbb{M}(M)$ 是否可与嵌入模 $\mathsf{E}^G_n[M]$ 的格罗滕迪克构造相等同？
• RQ5 导出余上同调构造 $\mathbf{T}^G(A;M)$ 是否能恢复已知不变量（如 THH），并为非交换庞加莱对偶性提供一个通用框架？

主要发现

• 当 $G=1$ 且 $M=S^1$ 时，不变量 $\mathbf{T}^1(A;S^1)$ 等价于结合环谱 $A$ 的拓扑霍赫希尔德同调，以更自然、对称的方式恢复了标准构造。
• $\mathbb{M}(S^1)$ 与埃尔门多夫的范畴 $\mathcal{E}$ 弱等价，且 THH 可作为 $\mathcal{E}$ 上的同伦上积实现，提供了图示性解释。
• 对于任意带有 $G$-结构的 $n$-流形 $M$，右 $\mathsf{E}^G_n$-模 $\mathsf{E}^G_n[M]$ 由 $G$-增强嵌入空间构造，推广了小 $n$-圆盘构造。
• 在 $\mathbb{M}(M)$ 与 $\mathsf{E}^G_n[M]$ 的格罗滕迪克构造之间存在一个弱等价的锯齿形，建立了构型范畴与模结构之间的深刻联系。
• 导出余上同调 $\mathbf{T}^G(A;M) = \mathsf{E}^G_n[M] \mathop{\otimes}^\mathsf{L}_{\mathsf{E}^G_n} A$ 定义了 $E_n$-代数的良态不变量，推广了 THH，并与非交换庞加莱对偶性兼容。