[论文解读] De-Rham theorem and Shapiro lemma for Schwartz functions on Nash manifolds

Avraham Aizenbud, Dmitry Gourevitch|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

该论文为纳什流形上的施瓦茨函数和广义施瓦茨函数建立了de Rham定理和夏皮罗引理的类比。证明了具有施瓦茨系数的de Rham复形的上同调同流形的紧支集上同调同构，而具有广义施瓦茨系数的则同构于普通上同调。利用此结果，证明了纳什群论版本的夏皮罗引理：具有G-等变丛上广义施瓦茨截面系数的李代数𝔤的上同调同构于李代数𝔥在H的表示下的上同调。

ABSTRACT

In this paper we continue our work on Schwartz functions and generalized Schwartz functions on Nash (i.e. smooth semi-algebraic) manifolds. Our first goal is to prove analogs of de-Rham theorem for de-Rham complexes with coefficients in Schwartz functions and generalized Schwartz functions. Using that we compute cohomologies of the Lie algebra of an algebraic group G with coefficients in the space of generalized Schwartz sections of G-equivariant bundle over a G-transitive variety M. We do it under some assumptions on topological properties of G and M. This computation for the classical case is known as Shapiro lemma.

研究动机与目标

• 将经典的de Rham定理和夏皮罗定理推广到纳什流形上施瓦茨函数的设定中。
• 定义并研究纳什流形上施瓦茨函数和广义施瓦茨函数系数的de Rham复形。
• 计算半单代数群G的李代数𝔤在G-等变丛于齐性空间G/H上的广义施瓦茨截面系数下的上同调。
• 在施瓦茨函数和分布的语境下，建立纳什-类比的夏皮罗引理。

提出的方法

• 引入纳什流形M上施瓦茨函数系数的de Rham复形，记为DR_S(M)，并证明其上同调同构于M的紧支集上同调。
• 引入广义施瓦茨函数系数的de Rham复形DR_G(M)，并证明其上同调同构于M的普通上同调。
• 为纳什局部平凡纤维丛F → M发展相对de Rham定理，定义相对上同调丛H^i_c(F→M)和H^i(F→M)，并证明DR_S(F→M)计算H^i_c(F→M)的全局施瓦茨截面，而DR_G(F→M)计算H^i(F→M)的全局广义施瓦茨截面。
• 利用相对de Rham定理，证明施瓦茨函数的夏皮罗引理：当线性代数群G及其子群H均为单连通时，具有G-等变丛上广义施瓦茨截面系数的李代数𝔤的上同调同构于李代数𝔥在H的表示下的上同调。
• 运用半代数几何技术，包括Tarski–Seidenberg原理和纳什分层，处理纳什流形的拓扑与几何结构。
• 应用核弗雷chet空间的结果，确立纳什流形上施瓦茨函数空间的结构性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的de Rham定理如何推广到纳什流形上施瓦茨函数的设定中？
• RQ2 具有广义施瓦茨函数系数的de Rham复形的上同调与纳什流形的普通上同调之间有何关系？
• RQ3 夏皮罗引理能否推广到纳什流形上的施瓦茨函数和广义施瓦茨函数的语境中？
• RQ4 线性代数群G的李代数𝔤在G-齐性空间G/H上G-等变丛的广义施瓦茨截面空间系数下的上同调是什么？
• RQ5 纳什纤维丛的相对de Rham复形如何与纤维的上同调相关？

主要发现

• 纳什流形M上施瓦茨函数系数的de Rham复形DR_S(M)的上同调同构于M的紧支集上同调。
• 广义施瓦茨函数系数的de Rham复形DR_G(M)的上同调同构于M的普通上同调。
• 对于纳什局部平凡纤维丛F → M，相对de Rham复形DR_S(F→M)的上同调自然同构于紧支集纤维上同调丛H^i_c(F→M)的全局施瓦茨截面空间。
• 对于同一纤维丛，DR_G(F→M)的上同调自然同构于纤维上同调丛H^i(F→M)的全局广义施瓦茨截面空间。
• 当F → M的纤维是单连通时，DR_G(F→M)的高阶上同调消失，而零阶上同调同构于M上的广义施瓦茨函数空间。
• 当线性代数群G及其子群H均为单连通时，具有G-等变丛上广义施瓦茨截面系数的李代数𝔤的上同调同构于李代数𝔥在H的表示下的上同调。