[论文解读] De Sitter Space from Warped Supergravity Solutions

G. W. Gibbons, C.M. Hull|ArXiv.org|Nov 8, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用 53

一句话总结

该论文通过从具有 $CSO(p,q,r)$ gauge 群的非紧致规范超引力中提升 BPS 壁解，在 10D 和 11D 超引力中构造了 de Sitter 空间解。它表明，这些解源于扭曲积几何结构，其中内部空间为非紧致超曲面 $\mathbf{H}^{p,q,r}$，其渐近于球面乘积的锥面，且扭曲因子和标量依赖度量将紧致球面对应的内部空间推广至双曲或柱面对应的非紧致情形。

ABSTRACT

The solutions of 10 and 11 dimensional supergravity that are warped products of de Sitter space with a non-compact `internal' space are investigated. A convenient form of the metric is found and it is shown that in each case the internal space is asymptotic to a cone over a product of spheres. A consistent truncation gives gauged supergravities with non-compact gauge groups. The BPS domain wall solutions of the non-compact gauged supergravities are lifted to warped solutions in 10 or 11 dimensions.

研究动机与目标

• 通过从非紧致规范超引力进行维数约化与提升，确立 $D=4,5,7$ 中 de Sitter 空间解的高维起源。
• 将紧致内部空间构造（例如球面 $S^{p-1}$）推广至具有不定度量的非紧致内部空间 $\mathbf{H}^{p,q,r}$。
• 表明 $D=4,5,7$ 中的 $CSO(p,q,r)$ 规范超引力源自包含扭曲积度量和非紧致内部空间的 11D 或 10D 超引力解。
• 证明即使空间本身非紧致且具有负曲率，内部空间 $\mathbf{H}^{p,q,r}$ 仍渐近于球面乘积的锥面。
• 系统性地将非紧致规范超引力中的 BPS 壁解提升为具有 de Sitter 外部几何的完整 10D 或 11D 超引力解。

提出的方法

• 采用扭曲积度量假设：$ds^2 = V^a \bar{g}_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu + V^b g_{mn}(x,y) dy^m dy^n$，其中 $V(x,y)$ 为扭曲因子，$g_{mn}$ 为内部空间 $N$ 上的度量。
• 将内部空间 $N$ 识别为 $\mathbb{R}^{p+q+r}$ 中的超曲面 $\mathbf{H}^{p,q,r}$，其定义为 $\eta_{AB} z^A z^B = R^2$，其中 $\eta_{AB}$ 具有 $p$ 个正特征值、$q$ 个负特征值和 $r$ 个零特征值。
• 应用 $SL(n,\mathbb{R})$ 变换，将紧致规范情形下的标量构型映射至非紧致情形，相应地改变内部几何与扭曲因子。
• 通过涉及 $M$ 和 $N$ 上体积形式的场强假设，将 $D=4,5,7$ 中具有 $CSO(p,q,r)$ gauge 群的规范超引力中的 BPS 壁解提升为完整的 10D 或 11D 超引力解。
• 推导 4-形式（$d=11$）或 5-形式（$d=10$）的场强，其与外部空间 $M$ 上的体积形式成正比，并对非恒定标量进行修正。
• 通过标量场分布 $\phi(x)$ 引入依赖于 $x$ 的模 $R(x)$ 和 $\lambda(x)$，导致内部度量在外部空间上变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从具有非紧致内部空间的高维超引力紧化中产生 $D=4,5,7$ 超引力中的 de Sitter 空间解？
• RQ2 在具有非紧致规范群 $CSO(p,q,r)$ 的扭曲积解中，内部空间 $N$ 的几何结构是什么？
• RQ3 非紧致规范超引力中的 BPS 壁解如何提升为具有 de Sitter 外部几何的完整 10D 或 11D 超引力解？
• RQ4 标量场在提升解中如何影响内部空间度量与扭曲因子的形变？
• RQ5 是否可以通过具有非紧致内部流形的扭曲积假设，将 $CSO(p,q,r)$ 规范超引力一致地嵌入 11D 或 10D 超引力中？

主要发现

• 在 $D=4,5,7$ 中的 de Sitter 空间解源自 11D 或 10D 超引力，通过具有非紧致内部空间 $\mathbf{H}^{p,q,r}$ 的扭曲积度量，其为 $\mathbb{R}^{p+q+r}$ 中具有不定度量的超曲面。
• 即使该空间本身非紧致且具有负曲率，内部空间 $\mathbf{H}^{p,q,r}$ 仍渐近于球面乘积 $S^{p-1} \times S^{q-1}$ 的锥面。
• 对于 $D=4$，11D 超引力中的 4-形式场强与外部 de Sitter 空间 $M$ 上的体积形式成正比，且由尺度 $R$ 量化。
• 在提升解中，扭曲因子依赖于依赖于 $x$ 的模 $R(x) = e^{-\phi/2}R$ 和 $\lambda(x) = e^{-(1+\beta)\phi}$，其中 $\phi(x)$ 为标量场分布。
• $CSO(p,q,r)$ 规范超引力通过从 $SO(p,q+r)$ 规范情形的场延续得到，其中 $CSO(p,q,r)$ 情形对应于参数空间中的 $\xi = -1, \zeta = 0$。
• 非紧致规范超引力中的 BPS 壁解被提升为具有 de Sitter 外部几何的完整 10D 或 11D 解，其中内部空间度量与扭曲因子因标量场的存在而在外部空间上变化。