[论文解读] Decay of correlation for expanding toral endomorphisms

Ai Hua Fan|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 4

一句话总结

本论文通过可观测函数的L²连续模，建立了d维环面上扩张环面自同态相关性衰减的最优界。证明了相关性衰减受Ωf,2(λ⁻ⁿ)控制，对于Hölder连续函数呈现指数衰减，并在L²连续模的可 summability 条件下，推广出中心极限定理，通过共轭关系将结果扩展至Ulam-von Neumann映射等系统。

ABSTRACT

Let $A$ be an expanding endomorphism on the torus ${\Bbb T}^d = {\Bbb R}^d /{\Bbb Z}^d$ with its smallest eigenvalue $λ>1$. Consider the ergodic system $({\Bbb T}^d, A, μ)$ where $μ$ is Haar measure. We prove that the correlation $ρ_{f, g}(n)$ of a pair of functions $f, g \in L^2(μ)$ is controlled by the modulus of $L^2$-continuity $Ω_{f, 2}(λ^{-n})$ and that the estimate is to some extent optimal. We also prove the central limit theorem for the stationary process $f(A^n x)$ defined by a function $f$ satisfying $Σ_n Ω_{f,2}(λ^{-n})

研究动机与目标

• 建立扩张环面自同态中相关性衰减速率的精确、最优估计。
• 以L²连续模Ωf,2(δ)表征衰减速率，该模推广了Hölder型正则性。
• 通过在Ωf,2(δ)/δ上引入可求和条件，将中心极限定理推广至正则性弱于Hölder或有界变差的可观测函数。
• 通过与帐篷映射的共轭关系，将结果应用于Ulam-von Neumann映射，揭示对数可观测函数的衰减率。

提出的方法

• 利用扩张自同态的逆分支所对应数字集D定义的转移算子L。
• 建立关键估计：对f ∈ Lr(μ)，r ∈ [1, ∞]，有||Ln f||r ≤ C Ωf,r(λ⁻ⁿ)，其中λ > 1为A的最小特征值。
• 将转移算子估计应用于相关性ρf,g(n) = ∫f·g∘An dμ − ∫fdμ∫gdμ的上界估计，得到C‖g‖₂ Ωf,2(λ⁻ⁿ)。
• 利用Ulam-von Neumann映射与帐篷映射之间的共轭关系，将环面自同态的结果转移至区间映射。
• 应用Parseval恒等式与傅里叶级数，估计g(y) = log|y|时的Ωg∘h,2(δ)，得出√δ型衰减。
• 通过验证条件∫₀¹ Ωf,2(t)/t dt < ∞，证明中心极限定理，得出归一化Birkhoff和的高斯收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扩张环面自同态下，L²可观测函数的相关性衰减速率的最优速率是什么？
• RQ2 L²连续模Ωf,2(δ)在此设定中如何控制相关性的衰减？
• RQ3 中心极限定理能否推广至正则性弱于Hölder或有界变差的可观测函数？
• RQ4 在Ulam-von Neumann系统中，对于非光滑可观测函数如log|y|，会涌现出何种衰减率？
• RQ5 通过共轭关系，转移算子方法在非一致扩张系统中能在多大程度上被适应？

主要发现

• 相关性衰减速率被控制在C‖g‖₂ Ωf,2(λ⁻ⁿ)以内，且该界在一般L²函数意义下是最优的，无法进一步改进。
• 对于Hölder连续函数，衰减为指数型：O(λ⁻αn)，其中α ∈ (0,1)，与已知结果一致。
• 当f ∈ L²且满足∫₀¹ Ωf,2(t)/t dt < ∞时，中心极限定理成立，极限方差为σ² = −∫f² dμ + 2∑ₙ≥₀ ∫f(x)f(Aⁿx) dμ。
• 对于Ulam-von Neumann映射，转移算子范数满足||LUⁿ f||₂ ≤ C·2⁻αⁿ，其中f ∈ Lipα，且||LUⁿ g||₂ ≈ 2⁻ⁿ，其中g(y) = log|y|。
• log|h(x)| = log|sin(πx/2)|的L²连续模有界于C√δ，导致转移算子范数中出现√δ衰减。
• log|(Un)′(y)|的归一化Birkhoff和收敛于均值为零的高斯分布，其方差与Liapunov指数log 2相关。