[论文解读] Decidability of the isomorphism and the factorization between minimal substitution subshifts

Fabien Durand, Julien Leroy|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

semigroups and automata theory参考文献 60被引用 14

一句话总结

本文通过证明任意此类系统之间的因子映射均组合等价于有界半径的滑动块编码后接一个移位幂，确立了极小替换子移位之间同构与因子分解的可判定性。关键贡献在于给出了此类编码半径的可计算上界 R，从而实现了同构与因子分解的算法决策程序。

ABSTRACT

Classification is a central problem for dynamical systems, in particular for families that arise in a wide range of topics, like substitution subshifts. It is important to be able to distinguish whether two such subshifts are isomorphic, but the existing invariants are not sufficient for this purpose. We first show that given two minimal substitution subshifts, there exists a computable constant $R$ such that any factor map between these subshifts (if any) is the composition of a factor map with a radius smaller than $R$ and some power of the shift map. Then we prove that it is decidable to check whether a given sliding block code is a factor map between two prescribed minimal substitution subshifts. As a consequence of these two results, we provide an algorithm that, given two minimal substitution subshifts, decides whether one is a factor of the other and, as a straightforward corollary, whether they are isomorphic.

研究动机与目标

• 解决符号动力学中长期悬而未决的极小替换子移位之间同构与因子分解的可判定性问题。
• 将先前关于常长度替换的结果扩展至更广泛的非周期极小形态子移位类。
• 以有界半径滑动块编码与移位幂的形式，提供因子映射与同构的构造性刻画。
• 确立极小替换子移位的自同构群为几乎 ℤ 的结构，并可有效计算。
• 在形态序列的背景下，解决轨道等价性与子移位因子分解的开放问题。

提出的方法

• 证明任意两个极小替换子移位之间的因子映射均通过一个半径受可计算常数 R 限制的滑动块编码，再后接一个移位幂进行分解。
• 使用重整化过程降低因子映射的半径，将先前针对常长度情形的结果推广至一般极小替换子移位。
• 利用可识别性与均匀重复形态序列的结构，界定可能因子映射的复杂度。
• 应用形态语言包含关系与相等性的可判定性结果（通过 Presburger 算术与 D0L 等价性）来验证因子映射条件。
• 构建一个算法，以检查给定滑动块编码是否为两个指定极小替换子移位之间的有效因子映射。
• 将有界半径结果与算法验证相结合，通过有限半径编码的穷举搜索，实现同构与因子分解的决策。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个极小替换子移位之间是否可判定其同构性？
• RQ2 能否通过算法确定两个极小替换子移位之间存在因子映射？
• RQ3 是否存在一个统一的可计算上界 R，使得所有极小替换子移位之间的因子映射均可由半径小于 R 的滑动块编码表示？
• RQ4 能否算法性地计算给定极小形态子移位的所有非周期因子子移位？
• RQ5 极小替换子移位的轨道等价性是否可判定？其与同构性有何关系？

主要发现

• 存在一个可计算常数 R，使得任意两个极小替换子移位之间的因子映射均可通过半径小于 R 的滑动块编码与一个移位幂的复合来实现。
• 可判定给定滑动块编码是否为两个指定极小替换子移位之间的有效因子映射。
• 由于有界半径因子分解与有效验证的结合，极小替换子移位之间的同构问题具有可判定性。
• 因子分解问题——即一个极小替换子移位是否为另一个的因子——可通过相同的算法框架实现可判定。
• 任一极小替换子移位的自同构群均为几乎 ℤ 的结构，且其非移位自同构的有限集合可被有效计算。
• 本结果将先前针对常长度替换的可判定性结果推广至整个非周期极小形态子移位类，推广了 Salo 与 Törmä 的工作。