[论文解读] Deciding Graph MSO Properties: Has it all been told already?

Jakub Gajarský, Petr Hliněný|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Formal Methods in Verification被引用 3

一句话总结

该论文证明，对于可解释在有界高度彩色树（shrub-depth h）中的图类，任何具有 r 个量词的单边第二阶（MSO）性质，均可通过一个有限的核集来判定，每个核的大小由 r 和颜色数的元函数有界。这给出了一个元时间的 MSO 模型检测算法，并证明了在这些图类上，一阶逻辑与 MSO 逻辑具有相同的表达能力。

ABSTRACT

Fix an integer h>=1. In the universe of coloured trees of height at most h, we prove that for any graph decision problem defined by an MSO formula with r quantifiers, there exists a set of kernels, each of size bounded by an elementary function of r and the number of colours. This yields two noteworthy consequences. Consider any graph class G having a one-dimensional MSO interpretation in the universe of coloured trees of height h (equivalently, G is a class of shrub-depth h). First, class G admits an MSO model checking algorithm whose runtime has an elementary dependence on the formula size. Second, on G the expressive powers of FO and MSO coincide (which extends a 2012 result of Elberfeld, Grohe, and Tantau).

研究动机与目标

• 建立 MSO 可定义性质在 shrub-depth h 图类中核大小的元上界。
• 证明此类图类上的 MSO 模型检测在公式大小上具有元时间复杂度。
• 扩展 Elberfeld、Grohe 和 Tantau 于 2012 年的结果，证明在这些图类上，一阶逻辑与单边第二阶逻辑具有相同的表达能力。
• 为有界高度彩色树中 MSO 性质提供一种统一且有限的核基决策过程。

提出的方法

• 利用高度至多为 h 的彩色树作为解释图类的逻辑论域。
• 应用具有 r 个量词的 MSO 公式，在图上定义判定问题。
• 构造一个有限的核集——每个核的大小由 r 和颜色数的元函数有界——使得公式的真值仅取决于其在核中的成员关系。
• 利用具有 shrub-depth h 的图类可在一维 MSO 下解释于彩色树中的事实，将可判定性结果进行转移。
• 采用核化技术，将输入结构简化为一个小型、与公式相关的核心。
• 证明核的数量及其大小在 r 和颜色数上为元函数，从而确保运行时间为元时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在公式大小上以元时间完成对 shrub-depth h 图类的 MSO 模型检测？
• RQ2 所有在 shrub-depth h 图类上 MSO 可定义的性质是否都具有大小为元函数的有限核系统？
• RQ3 在一阶逻辑与单边第二阶逻辑在 shrub-depth h 图类上是否具有相同的表达能力？
• RQ4 任何具有 r 个量词的 MSO 公式的判定问题是否可约化为检查其在有界大小核集中的成员关系？

主要发现

• 对于任意具有 r 个量词的 MSO 公式，均存在一个有限的核集，每个核的大小由 r 和颜色数的元函数有界，使得公式的真值仅取决于其在核中的成员关系。
• 在 shrub-depth h 图类上，MSO 模型检测问题存在一个运行时间在公式大小上为元函数的算法。
• 在 shrub-depth h 图类上，一阶逻辑与单边第二阶逻辑具有等价的表达能力，扩展了 2012 年的结果。
• 核基决策过程是统一且有限的，为该设定下 MSO 性质的判定提供了一种完整且有效的方法。