[论文解读] Faster Deciding MSO Properties of Trees of Fixed Height, and Some Consequences

Jakub Gajarský, Petr Hliněný|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Formal Methods in Verification被引用 4

一句话总结

该论文通过引入一个大小由变量数量的元函数有界的核结构，提出了一种针对有界高度树上一阶二元逻辑（MSO）的更快模型检测算法。该方法改进了有界树深度图上的MSO2和有界枝深图上的MSO1的可判定性结果，并确立了在一阶逻辑（FO）与MSO1在有界枝深类图中具有同等表达力。

ABSTRACT

We prove, in the universe of trees of bounded height, that for any MSO formula with m variables there exists a set of kernels such that the size of each of these kernels can be bounded by an elementary function of m. This yields a faster MSO model checking algorithm for trees of bounded height than the one for general trees. From that we obtain, by means of interpretation, corresponding results for the classes of graphs of bounded tree-depth (MSO2) and shrub-depth (MSO1), and thus we give wide generalizations of Lampis ’ (ESA 2010) and Ganian’s (IPEC 2011) results. In the second part of the paper we use this kernel structure to show that FO has the same expressive power as MSO1 on the graph classes of bounded shrub-depth. This makes bounded shrub-depth a good candidate for characterization of the hereditary classes of graphs on which FO and MSO1 coincide, a problem recently posed by Elberfeld, Grohe, and Tantau (LICS 2012).

研究动机与目标

• 开发一种针对固定高度树的更高效MSO模型检测算法。
• 推广Lampis（2010）和Ganian（2011）关于有界树深度与枝深图的先前结果。
• 探索在继承图类中一阶逻辑（FO）与一元二阶逻辑（MSO1）之间的表达等价性。
• 刻画FO与MSO1一致的边界，特别是在枝深语境下。
• 确立在有界枝深图类中，MSO1与FO具有相同的表达能力。

提出的方法

• 为有界高度树上的MSO公式引入一种核结构，其中每个核的大小由变量数量的元函数有界。
• 使用解释技术，将树上的结果推广至有界树深度图（MSO2）和有界枝深图（MSO1）。
• 利用核结构设计一种针对有界高度树的更快MSO模型检测算法。
• 应用逻辑解释方法，将可判定性结果从树推广至更广泛的图类。
• 通过基于核的刻画分析FO与MSO1在枝深类图中的逻辑表达力。
• 通过利用核结构，证明在一阶逻辑（FO）与MSO1在有界枝深继承图类中具有同等表达力。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使有界高度树上的MSO模型检测显著快于一般树？
• RQ2 通过逻辑解释，有界高度树上的结果是否可推广至有界树深度与枝深图？
• RQ3 是否存在一个自然图类，使得一阶逻辑与一元二阶逻辑（MSO1）具有相同的表达能力？
• RQ4 图的何种结构特性可确保FO与MSO1可相互定义？
• RQ5 能否将有界枝深表征为FO与MSO1一致的继承图类的最大集合？

主要发现

• 对于任意含有m个变量的MSO公式，在有界高度树上均存在一个核结构，其大小由m的元函数有界。
• 针对有界高度树的MSO模型检测算法，其运行速度优于现有的一般树算法。
• 基于核的方法实现了对有界树深度图的高效MSO2模型检测。
• 该方法实现了对有界枝深图的高效MSO1模型检测，推广了Lampis与Ganian的先前结果。
• 在一阶逻辑（FO）与MSO1在有界枝深继承图类中具有相同的表达能力。
• 有界枝深被确立为FO与MSO1一致的继承图类的完整表征的强有力候选。