[论文解读] Deciding the existence of perfect entangled strategies for nonlocal games

Laura Mančinska, David E. Roberson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文证明，对于非局部游戏是否存在使用在最大纠缠态上的投影测量的完美纠缠策略（PME策略）的问题，可归约为一个推导图上的量子独立数问题。关键结果是，独立集博弈是该决策问题中最困难的情形，且所有对称同步博弈存在完美策略的问题，可归约为独立集博弈的同一问题。

ABSTRACT

First, we consider the problem of deciding whether a nonlocal game admits a perfect entangled strategy that uses projective measurements on a maximally entangled shared state. Via a polynomial-time Karp reduction, we show that independent set games are the hardest instances of this problem. Secondly, we show that if every independent set game whose entangled value is equal to one admits a perfect entangled strategy, then the same holds for all symmetric synchronous games. Finally, we identify combinatorial lower bounds on the classical and entangled values of synchronous games in terms of variants of the independence number of appropriate graphs. Our results suggest that independent set games might be representative of all nonlocal games when dealing with questions concerning perfect entangled strategies.

研究动机与目标

• 确定判断非局部博弈是否存在使用在最大纠缠态上的投影测量的完美纠缠策略的计算复杂性。
• 研究对称同步博弈中完美策略的存在性是否可归约为独立集博弈的同一问题。
• 利用图论不变量，为同步博弈的经典值和纠缠值建立组合下界。
• 探讨在受限测量和纠缠条件下，完美纠缠策略的可判定性与可达性。

提出的方法

• 引入PME（在最大纠缠态上使用投影测量）策略的概念，并定义决策问题PERFECT-PME。
• 从非局部博弈$G$构造一个博弈图$X(\tilde{G})$，以编码其结构和策略空间。
• 使用量子独立数$\alpha_q(X(\tilde{G}))$作为关键不变量，刻画完美PME策略的存在性。
• 建立从PERFECT-PME到量子独立数问题（Q-INDEPENDENCE）的多项式时间Karp归约。
• 利用对称性和同步博弈中的自洽性，将$G$中的策略与关联的独立集博弈$G'$中的策略联系起来。
• 运用算子理论和图论工具，证明$\alpha_q(X(\tilde{G})) = |Q| + |R|$当且仅当存在完美PME策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 判断非局部博弈中是否存在完美PME策略的问题是否计算上困难？若是，其复杂度类为何？
• RQ2 对称同步博弈中完美纠缠策略的存在性是否可归约为独立集博弈的同一问题？
• RQ3 博弈的纠缠值与关联图的量子独立数之间存在何种关系？
• RQ4 在何种条件下，可通过PME策略实现纠缠值为1？
• RQ5 独立集博弈是否在完美纠缠策略存在性方面具有代表性，可代表所有非局部博弈？

主要发现

• 决策问题PERFECT-PME可多项式时间归约为量子独立数问题（Q-INDEPENDENCE）。
• 独立集博弈是PERFECT-PME问题中最困难的情形，即若能解决此类博弈，则可解决所有非局部博弈的问题。
• 非局部博弈$G$存在完美PME策略当且仅当$\alpha_q(X(\tilde{G})) = |Q| + |R|$，从而建立了精确刻画。
• 若每个纠缠值为1的独立集博弈都存在完美纠缠策略，则所有对称同步博弈也存在此类策略。
• 对称同步博弈的纠缠值为1当且仅当其关联的独立集博弈的量子独立数等于问题集大小之和。
• 结果表明，在研究完美纠缠策略存在性时，独立集博弈具有代表性，可代表一般非局部博弈。