[论文解读] Decompositions of All Different, Global Cardinality and Related Constraints

Christian Bessière, George Katsirelos+3 more|ArXiv.org|May 22, 2009

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 25被引用 23

一句话总结

本文提出将全局约束（如 All-Different 和全局基数约束 GCC）分解为保持边界一致或范围一致性的简单算术约束，从而实现高效传播，而无需使用单体传播器。该方法支持集成到新型求解器中，并通过共享变量实现跨约束传播，实验表明通过 Hall 区间检测显著减少了搜索空间。

ABSTRACT

We show that some common and important global constraints like ALL-DIFFERENT and GCC can be decomposed into simple arithmetic constraints on which we achieve bound or range consistency, and in some cases even greater pruning. These decompositions can be easily added to new solvers. They also provide other constraints with access to the state of the propagator by sharing of variables. Such sharing can be used to improve propagation between constraints. We report experiments with our decomposition in a pseudo-Boolean solver.

研究动机与目标

• 开发 All-Different 和 GCC 等全局约束的分解方法，将其转化为保持强局部一致性的简单算术约束。
• 实现这些约束在新型约束求解器中的高效集成，而无需实现自定义传播器。
• 在分解中提供共享变量，以增强跨约束传播能力。
• 探索是否可通过简单、模块化的分解模拟复杂传播。
• 研究检测 Hall 区间对搜索空间缩减的影响。

提出的方法

• 使用辅助变量表示域区间，通过求和与范围约束将 All-Different 约束分解为算术约束，以强制变量间互异。
• 以 Hall 区间（即恰好覆盖与区间大小相等数量变量域的值区间）为基础进行剪枝。
• 使用标准约束传播技术，在分解后的算术约束上实现边界一致（BC）和范围一致（RC）传播。
• 引入增强型二元分解（BI）和基于 Hall 区间的分解（HI），以检测并利用小规模和大规模 Hall 区间实现剪枝。
• 将分解方法集成到伪布尔求解器中，以在基准问题上评估性能。
• 在不同约束间共享辅助变量，以传播状态信息并提升过滤效果。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可将 All-Different 和 GCC 等全局约束分解为简单算术约束，同时仍实现边界或范围一致性？
• RQ2 此类分解是否能实现与单体传播器相当的有效传播？
• RQ3 该分解是否可轻松集成到新型约束求解器中，而无需自定义实现？
• RQ4 在实际中，检测 Hall 区间在多大程度上可减少搜索空间？
• RQ5 分解中引入的共享变量是否可改善约束间的传播？

主要发现

• 将 All-Different 和 GCC 约束分解为算术约束可实现边界一致和范围一致，其剪枝能力与单体传播器相当。
• 实验表明，检测小规模 Hall 区间（HI₁）可显著减少回溯次数和运行时间，尤其在双轮优雅图实例上表现明显。
• 增强型 BI 分解在多数实例中优于标准 BI，尤其在存在大规模 Hall 区间时。
• 在双轮优雅图上，HI₁ 相较于标准 BI，将 10 个变量的实例回溯次数减少了高达 90%。
• 引入辅助变量可实现跨约束传播，使过滤效果超越孤立约束处理。
• 结果表明，将传播和 nogood 学习聚焦于小规模 Hall 区间，可能比针对大规模区间更有效，除非大规模区间频繁出现。