[论文解读] Decorated one-dimensional cobordisms and tensor envelopes of noncommutative recognizable power series

Mikhail Khovanov|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文建立了一个范畴框架，将非交换可识别幂级数与带标记的1维cobordism联系起来，通过普遍构造构建张量包络。引入了带有标记边界点和浮动分量的cobordism范畴，表明skein范畴及其商范畴可恢复句法代数和Deligne型范畴，且在对称评估与理想商下保持等价性。

ABSTRACT

The paper explores the relation between noncommutative power series and topological theories of one-dimensional cobordisms decorated by labelled zero-dimensional submanifolds. These topological theories give rise to several types of tensor envelopes of noncommutative recognizable power series, including the categories built from the syntactic algebra and syntactic ideals of the series and the analogue of the Deligne category.

研究动机与目标

• 通过带标记的1维cobordism建立非交换可识别幂级数的普遍构造。
• 通过skein范畴与可约商构造此类级数的张量包络。
• 将构造推广至包含内（浮动）边界与对称评估的情形。
• 表明所得范畴可恢复已知代数结构，如句法代数与Deligne型范畴。
• 通过有限维代数上的一对泛函统一理论，推广幂级数方法。

提出的方法

• 构造带标记边界点与浮动分量的1维cobordism范畴 $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$, 和 $\widetilde{\mathcal{C}}$。
• 使用非交换幂级数 $\alpha = (\alpha^\bullet, \alpha^\circ)$ 对闭cobordism进行评估，其中 $\alpha^\bullet$ 是字上的线性泛函，$\alpha^\circ$ 是循环字上的泛函。
• 通过从评估导出的关系对cobordism自由范畴进行商化，构建skein范畴 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$。
• 引入张量包络 $\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}_{(0,\alpha^\circ)}$, $\underline{\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}}_{(0,\alpha^\circ)}$, 和 $\mathcal{D}\mathcal{C}_{\alpha^\circ}$，并证明它们与对称情形下的对应结构同构。
• 使用句法理想 $I_{\alpha^\bullet}, I_{\alpha^\circ}, I^{\ell}_{\alpha^\bullet}, I^{r}_{\alpha^\bullet}$ 定义可约商 $\mathcal{C}_\alpha$，以捕捉级数的代数结构。
• 将构造推广至具有两个泛函 $\alpha^\bullet, \alpha^\circ$ 的结合 $\mathbf{k}$-代数 $B$，以整个代数替代生成元 $S$。

实验结果

研究问题

• RQ1 非交换可识别幂级数如何通过带装饰边界的拓扑cobordism理论进行范畴化表示？
• RQ2 对带浮动分量的装饰1维cobordism应用普遍构造后，会产生哪些张量范畴？
• RQ3 skein范畴 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ 及其商范畴如何与句法代数和Deligne范畴相关联？
• RQ4 对称泛函 $\alpha^\circ$ 在定义不变评估与张量包络之间的同构性中起什么作用？
• RQ5 该构造能否从自由代数上的生成元推广至具有迹泛函的任意有限维代数？

主要发现

• 与一对 $\alpha = (\alpha^\bullet, \alpha^\circ)$ 关联的skein范畴 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ 同构于由级数的句法代数与理想构建的范畴。
• 张量包络 $\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}_{(0,\alpha^\circ)}$, $\underline{\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}}_{(0,\alpha^\circ)}$, 与 $\mathcal{D}\mathcal{C}_{\alpha^\circ}$ 相互同构，表明不同构造之间的一致性。
• 当 $\alpha^\circ = 0$ 时，范畴 $\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ 允许非零的U形转弯，且圆的评估为零，反映了循环对称性的缺失。
• 当 $S = \emptyset$ 时，无向skein范畴 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ 同构于部分Brauer范畴（或rook-Brauer范畴），恢复了一个已知结构。
• 当 $S = \{s\}$ 时，级数 $\alpha$ 由两个有理函数 $Z_{\alpha^\bullet}(T)$ 与 $Z_{\alpha^\circ}(T)$ 编码，将构造与有理生成函数联系起来。
• 该构造可推广至具有两个泛函 $\alpha^\bullet, \alpha^\circ$ 的有限维 $\mathbf{k}$-代数 $B$，一旦选定生成集 $S$，所得范畴即与幂级数情形下的对应范畴同构。