[论文解读] Defects, dualities and the geometry of strings via gerbes II. Generalised geometries with a twist, the gauge anomaly and the gauge-symmetry defect

Rafał R. Suszek|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文在具共形缺陷的二维非线性σ模型目标空间的广义切从丛上引入了一种类扭曲相对Courant代数丛结构，统一了对称代数、规范异常与Gerbe几何。通过主丛与结构作用群胚的范畴，建立了小与大规范异常的上同调解释，揭示了世界面理论中规范对称性缺陷与全局拓扑障碍之间的对偶性。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers discussing in the framework of gerbe theory canonical and geometric aspects of the 2d nonlinear sigma model in the presence of conformal defects in the worldsheet. Employing the formal tools worked out in the first paper of the series, 1101.1126 [hep-th], a thorough analysis of rigid symmetries of the sigma model is carried out with emphasis on algebraic structures on generalised tangent bundles over the target space of the theory and over its state space that give rise to a realisation of the symmetry algebra on states. The analysis leads to a proposal for a novel differential-algebraic construct extending the original definition of the (gerbe-twisted) Courant algebroid on the generalised tangent bundles over the target space in a manner codetermined by the structure of the 2-category of abelian bundle gerbes with connection over it. The construct admits a neat interpretation in terms of a relative Cartan calculus associated with the hierarchy of manifolds that compose the target space of the multiphase sigma model. The paper also discusses at length the gauge anomaly for the rigid symmetries, derived and quantified cohomologically in a previous work of Gawȩdzki, Waldorf and the author. The ensuing reinterpretation of the small gauge anomaly in terms of the twisted rel. Courant algebroid modelling the Poisson algebra of Noether charges of the symmetries is elucidated through an equivalence between a category built from data of the gauged sigma model and that of principal bundles over the worldsheet with a structural action groupoid based on the target space. Finally, the large gauge anomaly is identified with the obstruction to the existence of topological defect networks implementing the action of the gauge group of the gauged sigma model and those giving a local trivialisation of a gauge bundle of an arbitrary topology over the worldsheet.

研究动机与目标

• 为具有共形缺陷的多相非线性σ模型中的刚性对称性，发展一种微分-代数框架。
• 通过广义几何与Gerbe理论，统一诺特定荷的几何实现及其在缺陷处的守恒性。
• 通过扭曲相对上同调与群胚范畴中的障碍，对小与大规范异常进行上同调特征刻画。
• 建立一致规范σ模型范畴与具有结构作用群胚的主丛之间的范畴等价，阐明拓扑缺陷网络的作用。
• 通过Vinogradov结构与双-Branes间数据，将对称性的几何描述扩展至包含未扭与扭扇区。

提出的方法

• 利用带有联络的阿贝尔丛Gerbe，在目标空间的广义切从丛上构造一个扭曲相对Courant代数丛。
• 应用相对Cartan微分法，定义与缺陷诱导对称性及Wess–Zumino项相容的括号结构。
• 使用Deligne上同调来建模Wess–Zumino项，并在目标空间中编码缺陷的拓扑数据。
• 将小规范异常重新解释为对称代数在态空间上无法实现哈密顿实现的障碍，其根源在于相对扭曲Courant代数丛内的Leibniz–Jacobi–内蕴异常。
• 建立一致规范σ模型范畴与世界面上以结构群胚Gσ⋉F为结构群的主丛范畴之间的范畴等价。
• 构造实现全局或局部规范变换的拓扑缺陷网络，实现单纯形对偶背景。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义几何，在态空间上几何化具共形缺陷的二维非线性σ模型的对称代数？
• RQ2 小规范异常在扭曲相对Courant代数丛中的上同调解释是什么？
• RQ3 缺陷网络如何实现规范对称性？对于任意规范丛拓扑，会出现何种障碍？
• RQ4 一致规范σ模型范畴与具有结构作用群胚的主丛之间的范畴等价是什么？
• RQ5 大规范异常如何与存在具拓扑规范对称性缺陷的一致量子CFT相关联？

主要发现

• 构造了一类新的扭曲相对Courant代数丛，作为原始Courant代数丛的微分-代数扩张，由带有联络的阿贝尔丛Gerbe的2-范畴共同决定。
• 小规范异常被重新解释为对称代数在态空间上无法实现哈密顿实现的障碍，其根源在于相对扭曲Courant代数丛内的Leibniz、Jacobi与内蕴性异常的联合作用。
• 作用群胚Gσ⋉F的切代数丛自然地成为扭曲Courant代数丛中无法形成李代数丛的障碍，将异常与群胚结构联系起来。
• 建立了具全局截面的一致规范σ模型范畴与以结构作用群胚Gσ⋉F为结构群的世界面主丛群胚之间的范畴等价。
• 显式构造了实现规范变换的拓扑缺陷网络，为先前工作中提出的单纯形对偶背景提供了直接实现。
• 大规范异常被识别为具任意规范丛拓扑的规范σ模型存在一致量子CFT的障碍，或等价地，为耦合至任意拓扑类型的规范场的障碍。