[论文解读] Deformation of Dirac structures via $L_\infty$ algebras

Marco Gualtieri, Mykola Matviichuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文在任意选择横截Dirac结构或近乎Dirac结构的前提下，建立了控制精确Courant代数胚中Dirac结构形变的$L_\infty$代数之间的典范$L_\infty$-同构。通过简化的$BV_\infty$-形式化方法与纯旋量方法，证明了这些代数在典范意义下等价，从而导出形式性映射，并给出在横截结构改变下Maurer-Cartan元的显式公式，其应用涵盖(拟)泊松几何、李双代数以及复流形形变（包括Kodaira-Spencer理论）。

ABSTRACT

The deformation theory of a Dirac structure is controlled by a differential graded Lie algebra which depends on the choice of an auxiliary transversal Dirac structure; if the transversal is not involutive, one obtains an $L_\infty$ algebra instead. We develop a simplified method for describing this $L_\infty$ algebra and use it to prove that the $L_\infty$ algebras corresponding to different transversals are canonically $L_\infty$-isomorphic. In some cases, this isomorphism provides a formality map, as we show in several examples including (quasi)-Poisson geometry, Dirac structures on Lie groups, and Lie bialgebras. Finally, we apply our result to a classical problem in the deformation theory of complex manifolds: we provide explicit formulas for the Kodaira-Spencer deformation complex of a fixed small deformation of a complex manifold, in terms of the deformation complex of the original manifold.

研究动机与目标

• 解决在Courant代数胚中，形变理论对横截Dirac结构选择的非典范依赖性问题。
• 构建由不同横截结构产生的形变$L_\infty$代数之间的典范$L_\infty$-同构。
• 将形式化推广至非可积Dirac结构及弯曲$L_\infty$代数。
• 应用该同构，推导出形变复流形的Kodaira-Spencer复形的显式公式。
• 为小形变下复结构的形变复形建立类似Tian-Todorov的形式性结果。

提出的方法

• 利用纯旋量与Courant代数胚的Clifford代数结构，以简化方式重新表述形变$L_\infty$代数。
• 将$BV_\infty$形式化作为Roytenberg导出括号构造的量子化。
• 通过与形变参数$\varepsilon$相关的算子$R_\varepsilon$构造一族多重线性映射$f_k$，定义$L_\infty$-同构。
• 显式计算高阶括号与映射分量，使用双线性运算$R_\varepsilon(\alpha_1,\alpha_2) = i_\varepsilon(\alpha_1 \wedge \alpha_2) - (i_\varepsilon \alpha_1) \wedge \alpha_2 - \alpha_1 \wedge i_\varepsilon \alpha_2$。
• 验证所得映射满足$L_\infty$同构公理，特别是广义雅可比恒等式。
• 将同构应用于Maurer-Cartan元，推导出形变解的变换公式$B = (1 + \rho\varepsilon)^{-1}\rho$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Dirac结构的形变$L_\infty$代数如何依赖于横截Dirac结构的选择？
• RQ2 即使横截结构不满足对合性，是否仍可构造出由不同横截结构产生的形变代数之间的典范$L_\infty$-同构？
• RQ3 该同构是否在泊松几何或广义复几何等几何背景下诱导出形式性映射？
• RQ4 能否利用该同构显式表达形变复流形的Kodaira-Spencer DGLA？
• RQ5 在横截结构改变下，Maurer-Cartan元的显式变换规律是什么？

主要发现

• 在固定Dirac结构上，不同横截Dirac结构所关联的$L_\infty$代数在典范意义下$L_\infty$-同构，从而消除了形变理论中的歧义。
• 该同构通过基于$BV_\infty$的形式化显式构造，得到一族满足$L_\infty$同构公理的多重线性映射$f_k$。
• 对于Maurer-Cartan元$\rho$，形变解由$B = (1 + \rho\varepsilon)^{-1}\rho$给出，当$1 + \rho\varepsilon$可逆时收敛。
• 该同构诱导出类似Tian-Todorov的公式，关联原始与形变复结构的Schouten-Nijenhuis括号。
• 由原始与形变括号诱导的上同调括号同构，意味着在上同调中具有相同的障碍映射。
• 该方法适用于弯曲$L_\infty$代数，并为形变复流形的Kodaira-Spencer复形提供了基于原始复结构形变复形的显式公式。