[论文解读] Deformation of Supersymmetric and Conformal Quantum Mechanics Through Affine Transformations

V. P. Spiridonov|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 1992

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文通过仿射变换（伸缩和平移）对一维N=2超对称与共形量子力学进行变形，得到q-同谱的超对偶哈密顿量，其能谱通过q²缩放相关联。关键结果是识别出q-变形谐振子代数作为自相似势的谱生成代数，通过su_q(1,1)对称性推广可解模型。

ABSTRACT

Affine transformations (dilatations and translations) are used to define a deformation of one-dimensional $N=2$ supersymmetric quantum mechanics. Resulting physical systems do not have conserved charges and degeneracies in the spectra. Instead, superpartner Hamiltonians are $q$-isospectral, i.e. the spectrum of one can be obtained from another (with possible exception of the lowest level) by $q^2$-factor scaling. This construction allows easily to rederive a special self-similar potential found by Shabat and to show that for the latter a $q$-deformed harmonic oscillator algebra of Biedenharn and Macfarlane serves as the spectrum generating algebra. A general class of potentials related to the quantum conformal algebra $su_q(1,1)$ is described. Further possibilities for $q$-deformation of known solvable potentials are outlined. Talk presented at the workshop on Harmonic Oscillators, College Park, 25-28 March 1992.

研究动机与目标

• 通过仿射变换引入变形，推广超对称与共形量子力学。
• 构建不具有守恒荷或能谱简并性的物理系统，同时保持谱关系。
• 识别由Shabat发现的自相似势的谱生成代数。
• 将该框架扩展至与量子代数su_q(1,1)相关的广义势类。
• 概述对已知可解量子势进行q-变形的系统性方法。

提出的方法

• 将仿射变换——特别是伸缩和平移——应用于N=2超对称量子力学的哈密顿量以实现变形。
• 该变形导致超对偶哈密顿量呈现q-同谱性，即它们的能谱通过q²缩放因子关联，除非可能在基态处例外。
• 该构造利用量子代数su_q(1,1)作为一类变形势的底层对称代数。
• 通过Biedenharn与Macfarlane的q-变形振子代数，该方法可自然恢复Shabat的自相似势作为特例。
• 该方法被用于推导一个在q-变形下封闭的广义势类，保持可解性。
• 通过显式谱分析与已知q-变形振子代数的代数结构匹配，验证了该框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用仿射变换对超对称量子力学进行变形，同时打破能谱简并性和守恒荷？
• RQ2 在这种变形下，超对偶哈密顿量之间的谱关系是什么？与标准超对称性有何不同？
• RQ3 Shabat的自相似势能否作为该变形框架下的特例被导出？
• RQ4 量子代数su_q(1,1)在生成一类可解的q-变形势中起什么作用？
• RQ5 如何通过该方法系统性地推广已知的可解势，实现q-变形？

主要发现

• 该变形系统表现出q-同谱性：一个超对偶哈密顿量的谱可通过另一个的能级乘以q²因子得到，基态可能例外。
• Shabat发现的自相似势自然地作为该变形的特例出现，证实了其代数起源。
• Biedenharn与Macfarlane的q-变形谐振子代数被识别为Shabat势的谱生成代数。
• 构建了一类在su_q(1,1)代数下封闭的广义势，扩展了已知的可解模型。
• 该方法为保持谱可解性的同时，系统性地对已知可解量子势进行q-变形提供了框架。
• 该变形在代数层面保持了超对称结构，但破坏了荷的守恒与能谱简并性。