[论文解读] Deformation Quantisation of Constrained Systems

Frank Antonsen|ArXiv.org|Oct 3, 1997

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了一种约束哈密顿系统变形量子化的途径，展示了如何通过Moyal量子化将第二类约束转化为第一类量子约束。该方法解决了在杨-米尔斯理论和引力理论中出现的反常与物理态约束问题，其中Ashtekar形式化将反常简化为中心扩张，并将物理态方程简化为有限阶次，证明了与BRST方法的相容性。

ABSTRACT

We study the deformation quantisation (Moyal quantisation) of general constrained Hamiltonian systems. It is shown how second class constraints can be turned into first class quantum constraints. This is illustrated by the O(N) non-linear $σ$-model. Some new light is also shed on the Dirac bracket. Furthermore, it is shown how classical constraints not in involution with the classical Hamiltonian, can be turned into quantum constraints {\em in} involution with respect to the Hamiltonian. Conditions on the existence of anomalies are also derived, and it is shown how some kinds of anomalies can be removed. The equations defining the set of physical states are also given. It turns out that the deformation quantisation of pure Yang-Mills theory is straightforward whereas gravity is anomalous. A formal solution to the Yang-Mills quantum constraints is found. In the \small{ADM} formalism of gravity the anomaly is very complicated and the equations picking out physical states become infinite order functional differential equations, whereas the Ashtekar variables remedy both of these problems -- the anomaly becoming simply a central extension (Schwinger term) and the equations for physical states become finite order. We finally elaborate on the underlying geometrical structure and show the method to be compatible with BRST methods.

研究动机与目标

• 开发一般约束哈密顿系统的自洽变形量子化框架。
• 通过将第二类约束转化为第一类量子约束，解决在量子力学中处理第二类约束的挑战。
• 解决约束系统中量子约束的反常问题，特别是在引力和杨-米尔斯理论中。
• 在形变量子化中推导出物理态的显式方程，特别是在ADM和Ashtekar形式化中。
• 建立变形量子化与BRST上同调方法之间的相容性。

提出的方法

• 利用Moyal量子化（星积形式化）对经典可观测量的泊松代数进行形变。
• 通过改进的星积系统性地将第二类约束转换为第一类量子约束。
• 通过分析量子约束与哈密顿量不满足对易关系的失败，引入反常消除的条件。
• 将该方法应用于O(N)非线性σ模型，作为该形式化的一个具体说明。
• 在ADM形式化中使用Ashtekar变量，将反常结构简化为一个中心扩张。
• 在Ashtekar表述中推导出物理态的有限阶微分方程，与ADM形式化中的无限阶方程形成对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过变形量子化，将经典哈密顿系统中的第二类约束一致地化为第一类量子约束？
• RQ2 在约束系统的量子约束中避免反常，必须满足什么条件？
• RQ3 变形量子化方法如何处理杨-米尔斯理论和引力等系统中的物理态条件？
• RQ4 为何引力的ADM形式化导致物理态的无限阶函数微分方程？Ashtekar形式化如何解决此问题？
• RQ5 变形量子化在约束系统中与BRST上同调方法的相容性程度如何？

主要发现

• 纯杨-米尔斯理论的变形量子化是直接且无反常的，已提供量子约束的正式解。
• 在引力的ADM形式化中，反常变得极为复杂，并导致物理态的无限阶函数微分方程。
• Ashtekar变量将引力反常转化为简单的中心扩张（施温格项），显著简化了量子结构。
• Ashtekar形式化中的物理态方程被简化为有限阶微分方程，使其比ADM方法更具可处理性。
• 该方法成功地将经典第二类约束转化为第一类量子约束，保持了与哈密顿动力学的一致性。
• 该形式化被证明与BRST上同调相容，表明其与既有的量子化框架一致。