[论文解读] Deformation Quantisation of Gravity

Frank Antonsen|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 1997

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文在ADM和Ashtekar变量中应用形变量子化（Moyal乘积）于经典广义相对论，识别出约束代数中的反常。尽管出现反常，Ashtekar情形下可引入一个中心扩张，该扩张可被“提升”，从而通过环表示法得到物理态解——具体而言，即使在无宇宙学常数的情况下，也存在类似Chern-Simons的态和动量空间中的高斯态，前提是附加约束条件成立。

ABSTRACT

We study the deformation (Moyal) quantisation of gravity in both the ADM and the Ashtekar approach. It is shown, that both can be treated, but lead to anomalies. The anomaly in the case of Ashtekar variables, however, is merely a central extension of the constraint algebra, which can be ``lifted''. Finally we write down the equations defining physical states and comment on their physical content. This is done by defining a loop representation. We find a solution in terms of a Chern-Simons state, whose Wigner function then becomes related to BF-theory. This state exist even in the absence of a cosmological constant but only if certain extra conditions are imposed. Another solution is found where the Wigner function is a Gaussian in the momenta. Some comments on ``quantum gravity'' in lower dimensions are also made.

研究动机与目标

• 将形变量子化应用于ADM和Ashtekar形式体系中的经典广义相对论。
• 通过分析约束代数中的反常，研究该量子化程序的一致性。
• 在环表示法中构造满足量子约束的物理态。
• 探讨所得量子态的物理内涵，特别是其与BF理论及低维量子引力的关系。
• 确定解存在的条件，包括宇宙学常数的作用。

提出的方法

• 利用Moyal形变量子化，将引力约束的经典泊松括号提升为非交换算符代数。
• 应用环表示法，将约束方程转化为连接空间中的泛函微分方程。
• 将Ashtekar情形下约束代数的反常识别为中心扩张，该扩张可解析处理。
• 构造一个物理态作为Chern-Simons态，其Wigner函数与BF理论相关。
• 推导出另一种解，其中Wigner函数为动量变量的高斯函数。
• 施加额外条件，以确保即使在无宇宙学常数时，Chern-Simons态仍存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在ADM和Ashtekar变量中一致地应用形变量子化于经典广义相对论？
• RQ2 在形变量子化下，量子约束代数中会出现何种类型的反常？
• RQ3 Ashtekar形式中的反常是否可消除或具有物理意义，特别是作为中心扩张时？
• RQ4 在环表示法中，哪些物理态满足量子约束？
• RQ5 所得量子态与已知的拓扑场论（如BF理论或Chern-Simons理论）有何关联？

主要发现

• 引力的形变量子化在ADM和Ashtekar变量中均导致约束代数出现反常。
• 在Ashtekar形式中，反常表现为一个中心扩张，该扩张可被“提升”以获得一致的量子约束。
• 发现了一类物理态解，形式为Chern-Simons态，其Wigner函数与BF理论相关。
• 只要施加某些额外条件，该Chern-Simons态即使在无宇宙学常数时也存在。
• 发现另一种解，其中Wigner函数为动量变量的高斯函数。
• 结果表明，形变引力与拓扑场论之间存在联系，尤其在低维情形下。