[论文解读] Higher curvature counter terms cause the bounce in loop cosmology

Robert C. Helling|ArXiv.org|Dec 15, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 20被引用 12

一句话总结

该论文表明，圈量子宇宙学中的反弹并非源于量子化本身，而是源于经典哈密顿量中的正则化歧义：将共轭动量替换为有限差分算符（聚合化）会在爱因斯坦-希尔伯特作用量中引入高阶曲率抵消项。关键结果是，不同聚合化函数的选择对应于不同的无限组高阶曲率修正，暗示其根本上缺乏可预测性，类似于带有截断的微扰量子引力理论。

ABSTRACT

In the loop approach to the quantisation of gravity, one uses a Hilbert space which is too singular for some operators to be realised as derivatives. This is usually addressed by instead using finite difference operators at the Planck scale, a process known as ``polymerisation''. In the symmetry reduced example of loop cosmology, we study an ambiguity in the regularisation which we relate to the ambiguity of fixing the coefficients of infinitely many higher curvature counter terms augmenting the Einstein-Hilbert action. Thus the situation is comparable to he one in a naive perturbative treatment of quantum gravity with a cut-off where the necessary presence of infinitely many higher derivative terms compromises predictability. As a by-product, we demonstrate in an appendix that it is possible to have higher curvature actions for gravity which still lead to first order equations of motion like in the Friedmann case.

研究动机与目标

• 研究圈量子宇宙学中大反弹的起源，超越标准的量子化方法。
• 将聚合化中的正则化歧义识别为在引力作用量中添加高阶曲率抵消项的等价形式。
• 表明反弹是经典正则化的结果，而非量子效应本身。
• 证明不同的聚合化函数在协变作用量中对应于不同的高阶曲率修正。
• 论证由于缺乏正则化选择的唯一性，导致与微扰量子引力中类似的问题，即可预测性受损。

提出的方法

• 分析各向同性圈宇宙学中的经典哈密顿量，通过用有限差分算符（聚合化）替换共轭动量，以避免希尔伯特空间奇点问题。
• 利用泰勒展开，将不同聚合化函数 f(ℓₚp)/ℓₚ 与作用量中的高阶导数修正联系起来。
• 通过将每个 f 与特定的无限高阶曲率抵消项级数对应，将正则化歧义转化为协变框架。
• 利用共形时间与里奇张量收缩，证明任何来自聚合化的有效拉格朗日量均可由四维协变作用量导出。
• 使用数学归纳法证明，对于任意 n，(ȧ/a)²ⁿ 项在有效拉格朗日量中可表示为里奇张量收缩的线性组合，至多相差全导数项。
• 证明高阶曲率作用量仍可产生一阶弗里德曼型方程，从而保持宇宙学模型的物理结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 圈量子宇宙学中的反弹是由量子化还是正则化引起的？
• RQ2 聚合化中有限差分算符的选择如何影响有效动力学？
• RQ3 聚合化歧义能否以协变方式映射为引力作用量的修改？
• RQ4 不同的聚合化函数是否导致物理上不同的高阶曲率修正？
• RQ5 由于存在无限多个未知的高阶曲率抵消项系数，圈量子宇宙学的可预测性是否受到损害？

主要发现

• 圈宇宙学中的反弹并非量子效应，而是通过有限差分算符替代共轭动量实现的经典正则化所致。
• 对于满足 f(0)=0 且 f′(0)=1 的不同聚合化函数 f(ℓₚp)/ℓₚ，其在有效作用量中对应不同的高阶曲率修正。
• 聚合化歧义等价于在爱因斯坦-希尔伯特作用量中添加无限级数的高阶曲率抵消项，其系数由 f 的泰勒展开确定。
• 在共形平坦时空中，对于任意 n，有效拉格朗日量中的 (ȧ/a)²ⁿ 项均可通过里奇张量收缩的线性组合实现，至多相差全导数项。
• 由此产生的高阶曲率作用量仍可导出一阶运动方程，保持宇宙学模型的弗里德曼型结构。
• 由于缺乏唯一的正则化选择，圈量子宇宙学面临与微扰量子引力相同的可预测性问题：存在无限多个未知的抵消项系数。