[论文解读] Deformation theory with homotopy algebra structures on tensor products

Daniel Robert-Nicoud|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

Advanced Topics in Algebra被引用 5

一句话总结

本文在不同操作子代数的张量积以及余代数与代数之间的映射空间上建立了自然的同伦李代数与同伦结合代数结构，推广了经典的曼宁积。关键贡献在于提出了一套使用 $Ψ$-诱导的从 $σ_{∞}$ 到卷积操作子的同态的范畴化框架，从而为态射的形变复形提供了理论基础，并在形变理论中给出了 $∞$-群胚的显式模型。

ABSTRACT

In order to solve two problems in deformation theory, we establish natural structures of homotopy Lie algebras and of homotopy associative algebras on tensor products of algebras of different types and on mapping spaces between coalgebras and algebras. When considering tensor products, such algebraic structures extend the Lie algebra or associative algebra structures that can be obtained by means of the Manin products of operads. These new homotopy algebra structures are proven by to compatible with the concepts of homotopy theory: $\infty$-morphisms and the Homotopy Transfer Theorem. We give a conceptual interpretation of their Maurer-Cartan elements. In the end, this allows us to construct the deformation complex for morphisms of algebras over an operad and to represent the deformation $\infty$-groupoid for differential graded Lie algebras.

研究动机与目标

• 解决为操作子代数之间的态射构造形变复形的问题。
• 为德利涅–欣奇–盖茨勒 $∞$-群胚提供一个小型且同伦等价的凯恩复形模型。
• 通过操作子 $ψ$-同态将经典的曼宁积构造推广到同伦代数。
• 建立新结构与 $∞$-同态及同伦传递定理的相容性。
• 以新同伦代数结构的角度，给出莫拉尔–卡塔兰元素的范畴化解释。

提出的方法

• 为一个微分分次操作子的同态 $\Psi: \mathscr{Q} \to \mathscr{P}$（其中 $\mathscr{Q}$ 是增强的）构造一个操作子同态 $\mathsf{M}_{\Psi}: \mathscr{L}_{\infty} \to \mathscr{P} \otimes \Omega((\mathscr{S}^{-1})^c \otimes \mathscr{Q}^\vee)$。
• 利用与 $\mathscr{Q}$ 和 $\mathscr{P}$ 相关的余操作子的卷积操作子，为 $\mathrm{B}(\mathscr{S} \otimes \mathscr{Q})$-余代数与 $\mathscr{P}$-代数之间的映射空间赋予 $\mathscr{L}_{\infty}$-代数结构。
• 应用同伦传递定理，确保所诱导的结构与 $\infty$-同态相容。
• 当 $\mathscr{Q}$ 是二元柯尔兹操作子时，利用其柯尔兹对偶 $\mathscr{Q}^!_{\infty}$ 的自由解析性，实现显式构造。
• 在 $\mathscr{P}$-代数与 $\mathscr{Q}^!_{\infty}$-代数上定义张量积结构 $\otimes^\Psi$，从而生成 $\mathscr{L}_{\infty}$-代数。
• 通过单子 $\widehat{\mathscr{P}}$ 定义完整的 $\mathscr{P}$-代数结构，从而实现滤子化与完备的代数模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为不同类型代数的张量积自然赋予同伦李代数结构？
• RQ2 对于一个同伦李代数的莫拉尔–卡塔兰元素空间，什么样的 $∞$-群胚模型既小又同伦等价于德利涅–欣奇–盖茨勒构造？
• RQ3 曼宁积构造如何通过操作子同态从严格代数推广到同伦代数？
• RQ4 在张量积与映射空间上诱导的同伦代数结构与 $\infty$-同态及同伦传递定理在何种意义上相容？
• RQ5 在 $Ψ$-诱导的 $\mathscr{L}_{\infty}$-代数结构背景下，莫拉尔–卡塔兰元素的范畴角色是什么？

主要发现

• 本文构造了一个典范同态 $\mathsf{M}_{\Psi}: \mathscr{L}_{\infty} \to \mathscr{P} \otimes \Omega((\mathscr{S}^{-1})^c \otimes \mathscr{Q}^\vee)$，使得 $\mathscr{P}$-代数与 $\mathscr{Q}^!_{\infty}$-代数的张量积自然赋予 $\mathscr{L}_{\infty}$-代数结构。
• 当 $\mathscr{Q}$ 是二元柯尔兹操作子时，操作子 $\Omega((\mathscr{S}^{-1})^c \otimes \mathscr{Q}^\vee)$ 同构于柯尔兹解析 $\mathscr{Q}^!_{\infty}$，从而实现显式构造。
• 通过卷积操作子，$\mathrm{B}(\mathscr{S} \otimes \mathscr{Q})$-余代数与 $\mathscr{P}$-代数之间的映射空间自然携带 $\mathscr{L}_{\infty}$-代数结构。
• 在张量积与映射空间上诱导的 $\mathscr{L}_{\infty}$-代数结构与 $\infty$-同态及同伦传递定理相容。
• 所构造的 $\mathscr{L}_{\infty}$-代数的莫拉尔–卡塔兰元素对应于 $Ψ$-相容的代数同态，从而提供了概念性解释。
• 该框架使得为操作子代数之间的态射构造形变复形成为可能，解决了康特舍维奇提出的问题。