[论文解读] Deformations of Asymptotically Conical $G_2$-Instantons

Joseph A. Driscoll|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文为在渐近锥形 $G_2$-流形上具有无穷远处固定渐近连接的 $G_2$-自连通丛发展了一套旋量形变理论。通过将形变与 $G_2$-流形上的扭曲狄拉克算子的核以及近乎凯勒边界上的狄拉克算子的本征值联系起来，计算了模空间的虚拟维数，并证明了在 $mathbb{R}^7$ 上主 $G_2$-丛上无阻碍 $G_2$-自连通丛的唯一性结果，表明它们必须是 $G_2$-不变的。

ABSTRACT

We develop the deformation theory of instantons on asymptotically conical $G_2$-manifolds, where an asymptotic connection at infinity is fixed. A spinorial approach is adopted to relate the space of deformations to the kernel of a twisted Dirac operator on the $G_2$-manifold and to the eigenvalues of a twisted Dirac operator on the nearly Kähler link. This framework is then used to calculate the virtual dimension of the moduli spaces of $G_2$-instantons on which several known examples live. One such example considered is the $G_2$-instanton of Günaydin-Nicolai, which lives on $R^7$. As an application of the deformation theory, we show how knowledge of the virtual dimension of the moduli space allows us to prove that unobstructed connections in the moduli space are $G_2$-invariant. By classifying such connections we prove a uniqueness result for unobstructed $G_2$-instantons on the principal $G_2$-bundle over $R^7$.

研究动机与目标

• 为具有无穷远处固定渐近连接的渐近锥形 $G_2$-流形上的 $G_2$-自连通丛发展形变理论。
• 将形变空间与 $G_2$-流形上扭曲狄拉克算子的核以及近乎凯勒边界上狄拉克算子的本征值联系起来。
• 计算已知例子（包括 Günaydin-Nicolai 自连通丛）中 $G_2$-自连通丛模空间的虚拟维数。
• 证明在 $mathbb{R}^7$ 上主 $G_2$-丛上无阻碍 $G_2$-自连通丛必为 $G_2$-不变，从而得出唯一性结果。
• 将形变框架应用于分析 Bryant-Salamon 及其他 $G_2$-流形（包括 $\Lambda^2_-(\mathbb{CP}^2)$ 和 $\Lambda^2_-(S^4)$）上自连通丛的模空间。

提出的方法

• 采用旋量方法，将 $G_2$-自连通丛的形变与具有固定衰减速率的 $G_2$-流形上扭曲狄拉克算子的核联系起来。
• 利用 Lockhart-McOwen 和 Marshall 在渐近锥形流形上椭圆算子的分析框架，建立弗雷德霍姆性质。
• 通过模空间之间的投影映射，将形变空间与近乎凯勒边界流形上扭曲狄拉克算子的谱联系起来。
• 应用隐函数定理，证明当形变理论无阻碍时，模空间为光滑流形。
• 利用表示理论与弗罗贝尼乌斯互反性，显式计算近乎凯勒边界上扭曲狄拉克算子的本征值，特别针对 $S^3 \times S^3$、$\mathbb{CP}^3$ 和 $S^6$。
• 在表示空间基下显式计算线性化 $G_2$-自连通丛算子的正式伴随矩阵，以确定模空间的虚拟维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有固定渐近连接的渐近锥形 $G_2$-流形上形式化 $G_2$-自连通丛的形变理论？
• RQ2 一个 $G_2$-自连通丛的形变空间与 $G_2$-流形上扭曲狄拉克算子的核及其近乎凯勒边界之间的关系是什么？
• RQ3 在 $mathbb{R}^7$、$\Lambda^2_-(\mathbb{CP}^2)$ 和 $\Lambda^2_-(S^4)$ 等已知例子中，$G_2$-自连通丛模空间的虚拟维数是多少？
• RQ4 在何种条件下可证明无阻碍 $G_2$-自连通丛为 $G_2$-不变？由此可推出哪些唯一性结果？
• RQ5 近乎凯勒边界上扭曲狄拉克算子的本征值如何决定 $G_2$-自连通丛模空间的结构？

主要发现

• 在 $mathbb{R}^7$ 上，$G_2$-自连通丛模空间的虚拟维数被计算为零，表明当无阻碍时模空间为零维。
• 对于 $mathbb{R}^7$ 上的标准 $G_2$-自连通丛，形变空间是平凡的，模空间为单点，意味着在无阻碍自连通丛中具有唯一性。
• 形变理论表明，主 $G_2$-丛上 $mathbb{R}^7$ 上的任何无阻碍 $G_2$-自连通丛都必须是 $G_2$-不变的，这是由于线性化算子核的结构所致。
• 近乎凯勒边界 $G_2/SU(3)$ 上扭曲狄拉克算子的本征值被显式计算，其谱决定了模空间的虚拟维数。
• 对于 Bryant-Salamon 流形 $\Lambda^2_-(\mathbb{CP}^2)$，$G_2$-自连通丛模空间的虚拟维数被确定为 1，与已知例子一致。
• 在表示基下计算了在规范连接处线性化 $G_2$-自连通丛算子的正式伴随矩阵，其本征值与预期谱一致，验证了形变框架的正确性。