[论文解读] Deformations of Generalized Kahler Structures and Bihermitian Structures

Ryushi Goto|ArXiv.org|Oct 9, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文利用全纯泊松结构，通过广义复与凯勒形变理论，在紧致凯勒流形上构造了新的双赫米特结构族。关键结果表明，在上同调条件成立时，当 $[\beta \cdot \omega] \neq 0$ 在 $H^1(M, \Theta)$ 中成立，即使 $t$ 很小，形变后的复结构 $J_t^-$ 也与原始 $J$ 不双全纯等价，从而证明了非等价双赫米特结构的存在性。

ABSTRACT

Let $(X, J)$ be a compact Kahler manifold with a non-zero holomorphic Poisson structure $β$. If the obstruction space for deformations of generalized complex structures on $(X, J)$ vanishes, we obtain a family of deformations of non-trivial bihermitian structures $(J, J^-_t, h_t)$ on $X$ by using $β$. In addition, if the class $[β\cdot ω]$ does not vanish for a Kähler form $ω$, then the complex structure $J_t^-$ is not equivalent to $J$ for small $t eq 0$ under diffeomorphisms. Our method is based on the construction of generalized complex and Kahler structures developed in \cite{Go1} and \cite{Go2}. As applications, we obtain such deformations of bihermitian structures on del Pezzo surfaces, the Hirtzebruch surfaces $F_2, F_3$ and degenerate del Pezzo surfaces. Further we show that del Pezzo surfaces $S_n (5\leq n\leq 8)$, $F_2$ and degenerate del Pezzo surfaces admit bihermitian structures for which $(X, J^-_t)$ is not biholomorphic to $(X, J)$ for small $t eq 0$.

研究动机与目标

• 利用全纯泊松结构在紧致凯勒流形上构造新的双赫米特结构族。
• 确定在何种条件下，形变后的复结构 $J_t^-$ 在微分同胚下不等价于原始 $J$。
• 在德尔·佩佐曲面、$F_2$、$F_3$ 以及退化的德尔·佩佐曲面上建立非等价双赫米特结构的存在性。
• 应用广义复结构形变理论，生成具有非等价复结构的非平凡双赫米特结构。
• 阐明科达伊拉-斯宾塞类 $[\beta \cdot \omega]$ 在阻碍形变后复结构的微分同胚等价性中的作用。

提出的方法

• 利用先前工作 [10, 11] 中的广义复与广义凯勒结构框架来构造形变。
• 在广义复结构背景下应用Maurer-Cartan方程，以生成无穷小形变。
• 通过科达伊拉-斯宾塞类 $-2[\beta \cdot \omega] \in H^1(M, \Theta)$ 构造复结构 $J_t^-$ 的形变。
• 施加条件 $\oplus_{i=0}^3 H^i(M, \wedge^{3-i}\Theta) = 0$，以确保形变的障碍空间为零。
• 通过收缩 $\beta \cdot \omega$ 分析形变流，该收缩产生一个取值于 $T^{1,0}_J$ 的 $\overline{\partial}$-闭 $(0,1)$-形式，定义了形变方向。
• 依赖于广义凯勒结构与满足 $-d^c_+\omega_+ = d^c_-\omega_- = db$ 的双赫米特结构之间的一一对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致凯勒流形 $M$ 上，全纯泊松结构 $\beta$ 在何种条件下会诱导出非平凡的双赫米特结构形变，且满足 $J_t^+ = J$？
• RQ2 当 $t \neq 0$ 且足够小时，形变后的复结构 $J_t^-$ 在任何微分同胚下都不等价于 $J$ 的条件是什么？
• RQ3 类 $[\beta \cdot \omega] \in H^1(M, \Theta)$ 在决定形变后复结构的双全纯类型中起什么作用？
• RQ4 哪些紧致复曲面允许存在双赫米特结构，使得 $J_t^-$ 不双全纯等价于 $J$？
• RQ5 如何利用广义复结构形变理论来显式构造具有不同双赫米特结构的族？

主要发现

• 对于满足 $\oplus_{i=0}^3 H^i(M, \wedge^{3-i}\Theta)$ 为零的紧致凯勒流形，全纯泊松结构 $\beta$ 会生成一个一维参数族的双赫米特结构 $(J, J_t^-, h_t)$，其中 $J_t^+ = J$。
• 在 $t=0$ 处，$J_t^-$ 的无穷小形变为 $\frac{d}{dt}J_t^-|_{t=0} = -2(\beta \cdot \omega + \overline{\beta} \cdot \omega)$，当 $\beta \neq 0$ 时该值非零。
• 若 $[\beta \cdot \omega] \neq 0$ 在 $H^1(M, \Theta)$ 中成立，则对足够小的 $t \neq 0$，$J_t^-$ 不可能通过任何微分同胚与 $J$ 等价，从而确保复结构的非等价性。
• 德尔·佩佐曲面 $S_n$（$5 \leq n \leq 8$）、$F_2$、$F_3$ 以及退化的德尔·佩佐曲面均存在此类非等价双赫米特结构。
• 该构造显式给出了双赫米特结构的例子，其中 $(X, J_t^-)$ 不双全纯等价于 $(X, J)$，从而证实了在这些曲面上存在非等价双赫米特结构。
• 该方法确认了广义复结构形变空间通过 $J_t^-$ 的科达伊拉-斯宾塞类控制了非平凡双赫米特结构的存在性。