[论文解读] Deformations of Lagrangian Type Submanifolds inside G2 manifolds

Rebecca J. Glover, Sema Salur|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了G₂流形中拉格朗日型子流形的形变，引入了一类新的四维RS子流形。证明了紧致、定向的HL 3流形的无穷小形变空间同构于光滑函数与子流形上闭2-形式的直和；而对于RS 4流形，其形变空间同构于闭3-形式，推广了特殊Holonomy几何中的形变理论。

ABSTRACT

3-dimensional Harvey Lawson submanifolds were introduced in an earlier paper by Akbulut-Salur, as examples of Lagrangian-type manifolds inside G2 manifold. In this paper, we first show that the space of deformations of a smooth, compact, orientable Harvey-Lawson submanifold HL in a G2 manifold M can be identified with the direct sum of the space of smooth functions and closed 2-forms on HL. We then introduce a new class of Lagrangian-type 4-dimensional submanifolds inside G2, call them RS submanifolds and prove that the space of deformations of a smooth, compact, orientable RS submanifold in a G2 manifold M can be identified with closed 3-forms on RS.

研究动机与目标

• 将G₂流形中拉格朗日型子流形的理论扩展至关联子流形与共关联子流形之外。
• 定义并研究一类新的四维子流形，称为RS子流形，其类似于辛几何中的拉格朗日子流形。
• 表征这些子流形在其各自类别中的无穷小形变空间。
• 为由G₂ 3-形式φ及其Hodge对偶⋆φ所校准的子流形建立形变理论。
• 通过Fukaya范畴探索G₂几何、校准子流形与镜像对称之间的联系。

提出的方法

• 将哈维-劳森（HL）子流形定义为G₂ 3-形式φ在其上限制为零的三维子流形。
• 引入RS子流形作为一类新的四维拉格朗日型子流形，由Hodge对偶4-形式⋆φ校准。
• 利用指数映射和形变映射F的线性化来分析子流形的无穷小形变。
• 计算形变映射F: Γ(N(RS)) → Λ⁴T*(RS)的线性化dF(0)，表明其等于d⋆v = ⋆(d*v)，其中v为法向量场V的对偶1-形式。
• 将dF(0)的核与RS子流形上的闭3-形式相等同，从而确立形变空间。
• 利用G₂流形上的叉积与三重叉积结构，定义HL与RS子流形的几何框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在G₂流形中，紧致、定向的三维哈维-劳森子流形的无穷小形变空间是什么？
• RQ2 如何在G₂流形中定义一类新的四维拉格朗日型子流形（RS子流形）？
• RQ3 RS子流形的形变空间是什么？它与子流形上微分形式有何关系？
• RQ4 HL与RS子流形的形变理论能否推广至非无 torsion 的G₂结构？
• RQ5 G₂流形上的叉积与标架场的几何结构如何促进这些子流形的定义与分析？

主要发现

• 在G₂流形中，光滑、紧致、定向的三维哈维-劳森子流形的无穷小形变空间同构于子流形上光滑函数空间与闭2-形式空间的直和。
• 在G₂流形中，光滑、紧致、定向的四维RS子流形的无穷小形变空间同构于子流形上闭3-形式的空间。
• HL子流形的形变空间是无限维的，反映了模空间的非紧致性。
• RS子流形的形变空间同样是无限维的，由闭3-形式参数化。
• 这些结果不仅适用于无 torsion 的G₂流形，也适用于G₂结构为闭或共闭的流形。
• HL子流形中叉积的几何作用与RS子流形中三重叉积的作用，类似于辛几何中拉格朗日子流形的几乎复结构的作用。