[论文解读] Deformations of $\mathcal W$ algebras via quantum toroidal algebras

Boris Feigin, M. Jimbo+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文在所有经典类型（A、B、C、D）中，包括超对称和扭结情形，通过量子环面 $\mathfrak{gl}_1$ 代数 $\mathcal{E}$ 提供了形变 $\mathcal{W}$ 代数的统一构造。引入了一个 $\mathcal{E}$ 上的余模代数 $\mathcal{K}$，用于统一生成形变 $\mathcal{W}$ 电流和筛选算子，并通过贝特 ansatz 证明了除 $\textsf{D}^{(2)}_{\ell+1}$ 外所有非例外类型中交换积分运动家族的存在性。

ABSTRACT

The deformed $\mathcal W$ algebras of type $ extsf{A}$ have a uniform description in terms of the quantum toroidal $\mathfrak{gl}_1$ algebra $\mathcal E$. We introduce a comodule algebra $\mathcal K$ over $\mathcal E$ which gives a uniform construction of basic deformed $\mathcal W$ currents and screening operators in types $ extsf{B}, extsf{C}, extsf{D}$ including twisted and supersymmetric cases. We show that a completion of algebra $\mathcal K$ contains three commutative subalgebras. In particular, it allows us to obtain a commutative family of integrals of motion associated with affine Dynkin diagrams of all non-exceptional types except $ extsf{D}^{(2)}_{\ell+1}$. We also obtain in a uniform way deformed finite and affine Cartan matrices in all classical types together with a number of new examples, and discuss the corresponding screening operators.

研究动机与目标

• 为所有经典类型（包括超对称和扭结情形）的形变 $\mathcal{W}$ 代数提供一个统一的代数框架。
• 利用量子环面代数将已知的 $\mathcal{W}$ 代数类型 A 的 $q$-形变推广到其他经典类型。
• 构造一个关于量子环面 $\mathfrak{gl}_1$ 代数 $\mathcal{E}$ 的余模代数 $\mathcal{K}$，以统一生成形变 $\mathcal{W}$ 电流和筛选算子。
• 利用贝特 ansatz，为所有非例外类型（除 $\textsf{D}^{(2)}_{\ell+1}$ 外）的仿射达尼金图建立与交换积分运动家族的关联。

提出的方法

• 该构造以量子环面 $\mathfrak{gl}_1$ 代数 $\mathcal{E}$ 作为形变 $\mathcal{W}$ 代数的通用代数框架。
• 形变 $\mathcal{W}$ 电流 $A_i(z)$ 定义为 $\ell+1$ 个顶点算子之和中相邻顶点算子的比值，这些顶点算子由生成电流 $e(z)$ 作用于任意颜色的 Fock 模的张量积而产生。
• 引入 $\mathcal{E}$ 上的余模代数 $\mathcal{K}$，以系统化地生成类型 B、C、D（包括扭结和超对称情形）的形变 $\mathcal{W}$ 电流和筛选算子。
• 通过 $A_i(z)$ 电流的收缩结构推导出形变卡坦矩阵（有限型与仿射型），并为各种颜色和类型配置提供了显式矩阵形式。
• 通过使用费金-奥德斯科伊核的多重积分，利用“穿衣”电流 $\boldsymbol{e}(z) = e(z)\tilde{Z}_\mu(z)$ 构造积分运动。
• 利用贝特 ansatz 计算了积分运动的谱，并表明该构造在除 $\textsf{D}^{(2)}_{\ell+1}$ 外的所有经典类型中保持一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用量子环面代数在所有经典类型（A、B、C、D）中统一构造形变 $\mathcal{W}$ 代数？
• RQ2 量子环面 $\mathfrak{gl}_1$ 代数 $\mathcal{E}$ 上的余模代数 $\mathcal{K}$ 在生成形变 $\mathcal{W}$ 电流和筛选算子中起到什么作用？
• RQ3 能否在此框架下为所有非例外仿射达尼金类型构造出交换积分运动家族？
• RQ4 有限型与仿射型的形变卡坦矩阵如何从 $\mathcal{E}$ 及其 Fock 模的代数结构中自然涌现？
• RQ5 “$qq$-特征”解释的“穿衣”电流 $\boldsymbol{e}(z)$ 与量子仿射 $\mathfrak{sl}_{\ell+1}$ 之间有何重要意义？

主要发现

• 量子环面 $\mathfrak{gl}_1$ 代数 $\mathcal{E}$ 上的余模代数 $\mathcal{K}$ 包含三个交换子代数，使得在类型 B、C、D（包括超对称和扭结情形）中能够统一构造形变 $\mathcal{W}$ 电流和筛选算子。
• 为除 $\textsf{D}^{(2)}_{\ell+1}$ 外的所有非例外仿射达尼金类型构造了交换积分运动家族，其谱通过贝特 ansatz 计算得出。
• 为所有经典类型显式推导出形变有限型与仿射型卡坦矩阵，并为各种颜色和类型配置提供了具体矩阵形式。
• 通过将 $e(z)$ 与顶点算子 $\tilde{Z}_\mu(z)$ 相乘得到的“穿衣”电流 $\boldsymbol{e}(z)$，其结果是量子仿射 $\mathfrak{sl}_{\ell+1}$ 的第一基本表示的 $qq$-特征，从而将该构造与已知的可积系统联系起来。
• 通过置换参数 $s_1, s_2, s_3$ 或反转数据顺序，可生成新的形变卡坦矩阵，通过叠加最大有限型子矩阵可获得稳定矩阵。
• 该方法成功地将 $\mathcal{W}$ 代数的 $q$-形变从类型 A 推广到所有经典类型，为电流、筛选算子和卡坦矩阵提供了显式公式。