[论文解读] Deformations of W-algebras associated to simple Lie algebras

Edward Frenkel, Nicolai Reshetikhin|ArXiv.org|Aug 4, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 94

一句话总结

本文通过自由场实现和筛选算子，引入了任意单李代数关联的两参数形变 W-代数，记为 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$。它为经典类型给出了生成元的显式公式，并揭示了与量子仿射可积模型中分析性贝特 Ansatz 的深刻联系，将 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 与 $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$、$U_t({}^L\widehat{\mathfrak{g}})$ 和 $U_t(\widehat{\mathfrak{g}}^\vee)$ 的转移矩阵联系起来，暗示了表示环的统一形变。

ABSTRACT

Deformed $\W$--algebra $\W_{q,t}(\g)$ associated to an arbitrary simple Lie algebra $\g$ is defined together with its free field realizations and the screening operators. Explicit formulas are given for generators of $\W_{q,t}(\g)$ when $\g$ is of classical type. These formulas exhibit a deep connection between $\W_{q,t}(\g)$ and the analytic Bethe Ansatz in integrable models associated to quantum affine algebras $U_q(\G)$ and $U_t(\GL)$. The scaling limit of $\W_{q,t}(\g)$ is closely related to affine Toda field theories.

研究动机与目标

• 为任意单李代数 $\mathfrak{g}$ 定义两参数形变 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 的 W-代数。
• 为经典类型下的 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 提供显式的自由场实现和筛选算子。
• 建立 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 生成元与量子仿射可积模型中转移矩阵的分析性贝特 Ansatz 公式的联系。
• 探索 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 的泊松极限，并猜想其与临界水平下量子包络代数中心的同构关系。

提出的方法

• 为每个单李代数 $\mathfrak{g}$ 定义其卡坦矩阵的两参数形变。
• 构造海森堡代数 $\mathcal{H}_{q,t}(\mathfrak{g})$，并引入作用于其上的筛选算子。
• 将 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 定义为 $\mathcal{H}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 中筛选算子的中心化子。
• 猜想 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 生成元的形式，并由此推导其交换关系。
• 计算筛选流之间的关系，并验证其与已知代数结构的一致性。
• 利用形变的轴代数框架，形式化算子乘积结构与亚纯性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为任意单李代数一致地定义 W-代数的两参数形变？
• RQ2 经典李代数的 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 的显式自由场实现是什么？
• RQ3 如何将 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 的生成元与 $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ 和 $U_t({}^L\widehat{\mathfrak{g}})$ 的可积模型中转移矩阵的特征值联系起来？
• RQ4 泊松代数 $\mathcal{W}_{1,t}(\mathfrak{g})$ 的结构是什么？它与 $G((z))$ 的德林费尔德-索科洛夫约化有何关系？
• RQ5 在 $q\to\epsilon$ 极限下，交换子代数 $\mathcal{W}'_{\epsilon,t}(\mathfrak{g})$ 是否同构于临界水平下 $U_t({}^L\widehat{\mathfrak{g}})$ 的中心？

主要发现

• 通过 $q$ 和 $t$ 的有理函数，为经典李代数 $A_\ell$、$B_\ell$、$C_\ell$ 和 $D_\ell$ 提供了 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 生成元的显式公式。
• $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 的自由场实现与 $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$、$U_t({}^L\widehat{\mathfrak{g}})$ 和 $U_t(\widehat{\mathfrak{g}}^\vee)$ 的转移矩阵的贝特 Ansatz 公式存在直接对应。
• 在 $q\to 1$ 极限下，$\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 恢复为与 $\mathfrak{g}$ 关联的普通 $\mathcal{W}$-代数。
• 在 $t\to 1$ 极限下，$\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 变为交换代数并获得泊松结构，猜想其同构于临界水平下 $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ 的中心。
• 对于 $\mathfrak{g}=C_2$，泊松代数 $\mathcal{W}_{1,t}(C_2)$ 同构于 $\mathcal{W}^{t^2}(C_2)$，在该情况下证实了猜想。
• $q\to\epsilon$ 极限产生一个交换子代数 $\mathcal{W}'_{\epsilon,t}(\mathfrak{g})$，其具有泊松结构，猜想其同构于临界水平下 $U_t({}^L\widehat{\mathfrak{g}})$ 的中心。