[论文解读] Deformations of Singular Minimal Hypersurfaces I, Isolated Singularities

Zhihan Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 64被引用 5

一句话总结

本文证明了在维度 ≥ 7 时，于具有严格稳定且严格最小化切锥的奇异极小超曲面附近，极小超曲面的存在性与一般光滑性。通过线性分析与雅可比场的渐近展开，证明在小度量扰动下，附近存在极小超曲面且其光滑性对一般扰动成立，且此类超曲面在其邻域内唯一地同调最小化。

ABSTRACT

Locally stable minimal hypersurface could have singularities in dimension $\geq 7$ in general, locally modeled on stable and area-minimizing cones in the Euclidean spaces. In this paper, we present different aspects of how these singularities may affect the local behavior of minimal hypersurfaces. First, given a non-degenerate minimal hypersurface with strictly stable and strictly minimizing tangent cone at each singular point, under any small perturbation of the metric, we show the existence of a nearby minimal hypersurface under new metric. For a generic choice of perturbation direction, we show the entire smoothness of the resulting minimal hypersurface. Second, given a strictly stable minimal hypersurface $Σ$ with strictly minimizing tangent cone at each singular point, we show that $Σ$ is uniquely homologically minimizing in its neighborhood. Lastly, given a family of stable minimal hypersurfaces multiplicity $1$ converges to a stable minimal hypersurface $Σ$ in an eight manifold, we show that there exists a non-trivial Jacobi field on $Σ$ induced by these converging hypersurfaces, which generalizes a result by Ben Sharp in smooth case; Moreover, positivity of this Jacobi field implies smoothness of the converging sequence.

研究动机与目标

• 解决在度量扰动下奇异极小超曲面的局部模问题。
• 建立在具有严格稳定且最小化切锥的奇点附近的极小超曲面的一般正则性。
• 证明此类奇异极小超曲面在其邻域内唯一地同调最小化。
• 将本·夏普关于雅可比场的结果推广至奇异情形，表明非平凡雅可比场可由收敛的稳定超曲面序列产生。
• 研究奇异极小超曲面邻域的刚性与叶状结构特性。

提出的方法

• 在孤立奇点附近对雅可比算子使用线性分析，重点研究 $L^2$-非集中性与渐近行为。
• 利用稳定双锥的几何性质，对雅可比方程解在奇点附近的渐近展开。
• 在非退化与严格稳定性假设下，将弗雷德霍姆理论与巴拿赫流形结构应用于度量-极小超曲面对的空间。
• 通过摄动理论构造单侧形变，确保在小 $C^4$ 度量变化下附近极小超曲面的存在性。
• 利用变集收敛与指标比较，将稳定超曲面序列与极限上的非平凡雅可比场联系起来。
• 运用强极大极小性质与约束最小化方法，证明极小超曲面的唯一性与刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个闭合局部稳定极小超曲面是否满足雅可比场的 $L^2$-非集中性？
• RQ2 能否为收敛至奇异极小超曲面的稳定极小超曲面序列关联一个非平凡雅可比场？
• RQ3 在固定的小度量扰动下，附近极小超曲面是否唯一，特别是对西蒙斯锥而言？
• RQ4 能否在具有孤立奇点的奇异极小超曲面邻域内构造一个平均凸叶状结构？
• RQ5 非平凡雅可比场的存在是否意味着收敛超曲面序列的光滑性？

主要发现

• 对任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得若度量扰动满足 $\|g' - g\|_{C^4} \leq \delta$，则在 $\Sigma$ 的 $\epsilon$-邻域内存在附近极小超曲面 $\Sigma'$。
• 对 $C^k$-一般扰动 $f \in C^\infty(M)$，所得极小超曲面 $\Sigma'$ 光滑，从而确立了一般正则性。
• 在给定假设下，奇异极小超曲面 $\Sigma$ 在其邻域内唯一地同调最小化。
• 在8维流形中，存在一个由收敛至 $\Sigma$ 的稳定极小超曲面序列诱导的非平凡雅可比场。
• 诱导雅可比场的正性意味着收敛序列的光滑性，推广了光滑情形下的结果。
• 若切锥非严格最小化，则结论不成立，如命题8.1所示，表明该条件的必要性。