[论文解读] Deformations of trianguline B-pairs and Zariski density of two dimensional crystalline representations

Kentaro Nakamura|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 16

一句话总结

本文将三角化B-对的形变理论推广至任意p进域K，并在任意p进域K上构造了二维三角化表示的p进族，扩展了此前在ℚ_p上的工作。它利用B-对与连续上同调，统一了p进霍奇理论与特征值簇的形变理论，证明了在三角化空间中晶体表示的Zariski稠密性，推广了Colmez与Kisin在ℚ_p上的结果。

ABSTRACT

The aim of this article is to study deformation theory of trianguline B-pairs for any p-adic field. For benign B-pairs, a special good class of trianguline B-pairs, we prove a main theorem concerning tangent spaces of these deformation spaces. These are generalizations of Bellaiche-Chenevier's and Chenevier's works in the Q_p case, where they used (ϕ,Γ)-modules over the Robba ring instead of using B-pairs. As an application of this theory, in the final chapter, we prove a theorem concerning Zariski density of two dimensional crystalline representations for any p-adic field, which is a generalization of Colmez and Kisin's results in the Q_p case.

研究动机与目标

• 将Bellaïche-Chenevier与Chenevier在ℚ_p上关于三角化表示的形变理论推广至任意p进域K。
• 将Kisin的X_fs理论推广至任意p进域K，以构造有限斜率子空间与二维三角化表示的p进族。
• 证明在任意p进域K上，二维晶体表示在三角化形变空间中是Zariski稠密的，推广Colmez与Kisin在ℚ_p上的结果。
• 为B-对建立连续上同调理论，并证明其与Liu的上同调等价，从而支持对偶性与上积结构。
• 为一般数域上的特征值簇建立p进霍奇理论的基础工具，尤其在p不完全分裂时。

提出的方法

• 使用B-对（Berger引入）作为p进伽罗瓦表示的框架，取代罗巴环上的(φ,Γ)-模。
• 在阿廷局部环上发展三角化B-对的形变理论，将ℚ_p情形推广至任意p进域。
• 通过推广Kisin的方法并利用B-对上同调，为任意p进域K构造有限斜率子空间X_fs^tri。
• 为取值于E-B-对的B-对引入连续上同调复形，配备与伽罗瓦作用相容的上积结构。
• 证明B-对上同调的Tate对偶性与Euler-Poincaré公式，确立完美对偶性与有限性。
• 建立B-对连续上同调与Liu上同调之间的同构，确保与p进霍奇理论中已知结果的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用B-对而非(φ,Γ)-模，将三角化表示的形变理论从ℚ_p推广至任意p进域K？
• RQ2 在任意p进域K上是否存在二维三角化表示的p进族，推广Kisin的构造？
• RQ3 在任意p进域K上，二维晶体表示的集合是否在所有三角化表示的空间中Zariski稠密？
• RQ4 B-对的连续上同调与Liu上同调有何关系？它能否支持对偶定理？
• RQ5 能否为任意p进域K构造有限斜率子空间X_fs^tri？它是否参数化p进族的三角化表示？

主要发现

• 本文为任意p进域K构造了二维三角化表示的p进族，将Kisin在ℚ_p上的工作推广至一般K。
• 证明了在任意p进域K上，二维晶体表示在三角化形变空间中是Zariski稠密的，推广了Colmez与Kisin在ℚ_p上的结果。
• 证明B-对的连续上同调与Liu上同调同构，验证了B-对上同调框架的正确性。
• B-对上同调满足Tate对偶性：上积配对H^i(G_K, W) × H^{2-i}(G_K, W^∨(χ_p)) → ℚ_p在i = 0,1,2时为完美配对。
• 为B-对建立了Euler-Poincaré公式，确保有限性与对偶性的相容性。
• 将有限斜率子空间X_fs^tri的构造推广至任意p进域K，从而实现对三角化表示p进族的参数化。