[论文解读] Deforming submanifolds of arbitrary codimension in a sphere

Kefeng Liu, Hongwei Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文在第二基本形式的积分 $L^p$-范数有界条件下，建立了单位球面 $\mathbb{S}^{n+d}$ 中闭子流形的平均曲率流的收敛定理。证明了若第二基本形式的 $L^p$-范数足够小，则该流要么在有限时间内坍缩为一个圆点，要么在 $t\to\infty$ 时收敛于一个全测地球面，从而给出了任意余维子流形的微分球面定理。

ABSTRACT

In this paper, we prove some convergence theorems for the mean curvature flow of closed submanifolds in the unit sphere $\mathbb{S}^{n+d}$ under integral curvature conditions. As a consequence, we obtain several differentiable sphere theorems for certain submanifolds in $\mathbb{S}^{n+d}$.

研究动机与目标

• 在积分曲率条件下，建立单位球面 $\mathbb{S}^{n+d}$ 中闭子流形的平均曲率流的收敛定理。
• 将 Huisken 对超曲面的收敛结果推广至任意余维子流形。
• 在第二基本形式的 $L^p$-范数有界条件下，通过平均曲率流证明一个微分球面定理。
• 提供一个显式且可计算的阈值 $C_{n,p}$，使得 $\|A\|_{L^p} < C_{n,p}$ 蕴含球面收敛或坍缩。
• 部分解决一个关于 $L^n$-范数夹紧性蕴含微分同胚于 $\mathbb{S}^n$ 的猜想。

提出的方法

• 在满足 $n \geq 3$，$d \geq 1$ 的闭子流形 $M \subset \mathbb{S}^{n+d}$ 上应用平均曲率流 $\partial_t F = H$。
• 将第二基本形式 $A$ 的 $L^p$-范数有界作为曲率夹紧条件。
• 运用 Moser 迭代技术，推导出无迹第二基本形式 $\mathring{A}$ 的点态估计。
• 利用 $H$ 和 $\mathring{A}$ 的先验 $L^p$ 与 $L^q$ 估计，控制曲率演化并防止奇点产生。
• 应用 Andrews-Baker 与 Liu-Xu-Ye-Zhao 的收敛定理，得出长期行为结论。
• 通过迭代估计与几何不等式推导显式常数 $C_{n,p}$，确保其可计算性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种积分曲率条件下，单位球面 $\mathbb{S}^{n+d}$ 中闭子流形的平均曲率流会收敛于一个圆点或一个全测地球面？
• RQ2 能否通过 $L^p$-范数曲率有界，在 $\mathbb{S}^{n+d}$ 中对任意余维子流形建立一个微分球面定理？
• RQ3 最优显式阈值 $C_{n,p}$ 是什么，使得 $\|A\|_{L^p} < C_{n,p}$ 能保证球面收敛或坍缩？
• RQ4 在更高余维下，$A$ 的 $L^p$-范数如何控制平均曲率流的长期行为？
• RQ5 能否通过平均曲率流部分解决如下猜想：$\|\mathring{A}\|_{L^n} < C_n$ 蕴含微分同胚于 $\mathbb{S}^n$？

主要发现

• 若对 $p \in (n, \infty)$ 有 $\|A\|_{L^p} < C_{n,p}$，则平均曲率流要么在有限时间内坍缩为一个圆点，要么在 $t \to \infty$ 时收敛于 $\mathbb{S}^{n+d}$ 中的一个全测地球面，且 $C_{n,p}$ 显式可计算。
• 阈值 $C_{n,p}$ 由 $\min\{100, \max\{C_1(n,p,p,100), C_2(n,p,p,100n^{1/2})\} \to$ 给出，其中 $C_1$ 与 $C_2$ 由曲率估计与 Moser 迭代推导得出。
• 当 $n=3$ 时，若 $\varepsilon \leq \varepsilon_0 = \left(\frac{4}{3c_{10}}\right)^{1/2}$，则在 $M_{T_0/2}$ 上有不等式 $|A|^2 \leq \frac{4|H|^2}{9} + \frac{4}{3}$ 成立，从而保证球面收敛。
• 当 $n \geq 4$ 时，在相同条件下，$M_{T_0/2}$ 上有不等式 $|A|^2 \leq \frac{|H|^2}{n-1} + 2$ 成立，意味着收敛于一个球面。
• 证明表明 $T > \min\{T_1, T_2\}$，确保流在初始时间区间之后仍存在并可延拓，除非发生坍缩，否则不会出现有限时间奇点。
• 该结果为猜想 1.4 提供了部分解答，表明在给定流条件下，$\|\mathring{A}\|_{L^n} < C_n$ 蕴含微分同胚于 $\mathbb{S}^n$。