[论文解读] Degeneracy of entire curves into higher dimensional complex manifolds

Ya Deng|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过研究高维复流形上具有全纯叶状结构的全纯曲线，将McQuillan的方法推广至Green-Griffiths猜想。引入了叶状结构的弱约化奇点概念，从而对Ahlfors当前与切丛和余切丛的交集进行了精细化分析，最终提出了一种证明一般型曲面上全纯曲线代数退化的策略。

ABSTRACT

Pursuing McQuillan's philosophy in proving the Green-Griffiths conjecture for certain surfaces of general type, we deal with the algebraic degeneracy of entire curves tangent to holomorphic foliations by curves. Inspired by the recent work of Paun and Sibony, we study the intersection of Ahlfors current with the tangent bundle of the foliation, and derive some consequences. In particular, we introduce the definition of weakly reduced singularities for foliations by curves, which requires less work than the exact classification for foliations. Finally we discuss the strategy to prove the Green-Griffiths conjecture for complex surfaces.

研究动机与目标

• 将McQuillan证明Green-Griffiths猜想的策略推广至高维复流形。
• 定义并利用一维叶状结构的弱约化奇点概念，减少对奇点完整分类的依赖。
• 建立Ahlfors当前与叶状结构切丛之间交集的精细化公式。
• 通过结合当前理论、双有理几何与叶状结构的消去法，提出证明Green-Griffiths猜想的新路径。
• 提出并支持关于奇点约化与Brunella定理向高维推广的猜想。

提出的方法

• 使用与叶状结构 $\mathcal{F}$ 相切的全纯曲线 $f: \mathbb{C} \to X$ 关联的Ahlfors当前 $T[f]$，将其视为$(1,1)$上同调类。
• 应用Siu的精细塔陶罗不等式，分析交集 $\langle T[f], c_1(T_{\mathcal{F}}) \rangle + T(f, \mathcal{J}_{\mathcal{F}})$，其中 $\mathcal{J}_{\mathcal{F}}$ 编码奇点信息。
• 将误差项 $T(f, \mathcal{J}_{\mathcal{F}})$ 定义为非负实数，表示当前与奇点集之间的相互作用。
• 采用双有理变换，包括有限次的爆破，将奇点约化为弱约化形式。
• 利用Demailly-Semple塔构造，分析全纯曲线提升的Zariski闭包及其在投影下的行为。
• 依赖于Brunella非负性结果在高维中的一般化猜想，用于法丛交集。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过叶状结构方法证明一般型复曲面上全纯曲线的代数退化性？
• RQ2 利用弱约化奇点概念，一维叶状结构的奇点分类能在多大程度上被简化？
• RQ3 当奇点非孤立时，交集 $T[f] \cdot c_1(N_{\mathcal{F}})$ 是否仍保持非负？
• RQ4 能否使叶状结构约化为弱约化奇点的策略实现算法化或普遍适用？
• RQ5 Brunella关于法丛交集非负性的定理能否推广至具有叶状结构的高维流形？

主要发现

• 本文建立了 $\langle T[f], c_1(T_{\mathcal{F}}) \rangle + T(f, \mathcal{J}_{\mathcal{F}}) \geq 0$ 的精细化公式，改进了[PS14]的结果。
• 在曲面上，若满足Zariski稠密性与非退化性假设，则不等式 $T[f] \cdot T_{\mathcal{F}} \geq 0$ 成立。
• 若 $\mathcal{F}$ 具有绝对孤立奇点且 $K_{\mathcal{F}}$ 为大线丛，则所有与 $\mathcal{F}$ 相切的全纯曲线均为代数退化。
• 引入弱约化奇点后，可在无需完整奇点分类的前提下控制误差项 $T(f, \mathcal{J}_{\mathcal{F}})$。
• 在假设奇点可被约化为弱约化形式，且广义Brunella定理成立的前提下，一般型曲面的Green-Griffiths猜想可被推出。
• 当 $\langle T[\hat{g}], c_1(N_{\hat{\mathcal{F}}}} \rangle < 0$ 与猜想3.2预期的非负性矛盾时，意味着代数退化性成立。