[论文解读] Degree 3 Cohomological Invariants of Groups that are Neither Simply Connected nor Adjoint

Hernando Bermudez, Anthony Ruozzi|arXiv (Cornell University)|May 13, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文使用 Merkurjev 的正合序列，计算了分裂半单群中类型为 A 和 D 且既非单连通也非伴随的群的度数 3 归一化上同调不变量。它识别出 $\mathrm{SL}_n/\mu_m$ 和 $\mathrm{HSpin}_{4n}$ 的新不可约不变量，将 Arason 不变量推广至度数被 16 整除的代数上的正交对合，并建立了一个公式，将这些不变量与 Rost 不变量及 $\mathrm{PSp}_{2n}$ 的不变量联系起来。

ABSTRACT

In a recent paper A. Merkurjev constructed an exact sequence which includes as one of the terms the group of degree 3 normalized cohomological invariants of a semisimple algebraic group G, greatly extending results of M. Rost for simply connected quasi-simple groups. Furthermore, in the aforementioned paper, Merkurjev uses his exact sequence to determine the groups of invariants for all semisimple adjoint groups of inner type. The goal of this paper is to use Merkurjev's sequence to compute the group of invariants for the remaining split cases, namely groups of types A and D that are neither simply connected nor adjoint. This description not only demonstrates the existence of many previously unstudied invariants but also allows us to extend several known results which relate these invariants to the Rost invariant and algebras with involution.

研究动机与目标

• 计算分裂型 A 和 D 群中既非单连通也非伴随的群的度数 3 归一化上同调不变量的群。
• 将上同调不变量理论推广至 Rost 和 Merkurjev 所研究的单连通与伴随情形之外。
• 利用 Merkurjev 的正合序列，构造并表征 $\mathrm{SL}_n/\mu_m$ 和 $\mathrm{HSpin}_{4n}$ 的新不可约不变量。
• 将这些不变量与 Rost 不变量以及 $\mathrm{PSp}_{2n}$ 的不变量相关联，特别是在具有正交对合的代数背景下。
• 通过 $\mathrm{HSpin}_{4n}$ 的不变量，将 Arason 不变量推广至度数被 16 整除的中心单代数上的正交对合。

提出的方法

• 利用 Merkurjev 的正合序列，将 $\mathrm{Inv}^3(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))_{\mathrm{norm}}$ 与 $\mathrm{CH}^2(BG)_{\mathrm{tors}}$、$H^1(F,\hat{C}(1))$ 和 $H^2(F,\hat{C}(1))$ 关联起来。
• 通过中心 $C$ 的特征沿其上推构造，利用同调群之间的连接同态 $\sigma$ 从 $H^1(F,G) \to H^2(F,\mathbb{G}_m)$ 区分可约不变量。
• 将可约不变量表征为 $\mathrm{Inv}^3(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))_{\mathrm{dec}} \simeq \hat{C} \otimes F$，其中 $G = \mathrm{SL}_n/\mu_m$ 与 $G = \mathrm{HSpin}_{4n}$。
• 将不可约不变量分析为商群 $\mathrm{Inv}^3(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))_{\mathrm{ind}} = \mathrm{Inv}^3(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))_{\mathrm{norm}} / \mathrm{Inv}^3(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))_{\mathrm{dec}}$。
• 通过将中心单代数的正交对合作为 $H^1(F,\mathrm{HSpin}_{4n})$ 中的元素上拉，并映射至 $H^3(F,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))/E(A)$，构造一个不变量 $e_3(A,\sigma)$。
• 在 $H^3(F,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})/P$ 中建立公式 $e_3(x) = \Delta(z) + e_3^{\mathrm{Spin}}(y)$，其中 $x$ 对应一个具有对合的代数，将该不变量与 $\mathrm{PSp}_{2n}$ 和扭曲的 $\mathrm{Spin}$ 群联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于既非单连通也非伴随的 $\mathrm{SL}_n/\mu_m$ 型群，其度数 3 归一化上同调不变量群的结构是什么？
• RQ2 如何用已知不变量（如 Rost 不变量和 $\mathrm{PSp}_{2n}$ 的不变量）来描述 $\mathrm{HSpin}_{4n}$ 的不可约不变量？
• RQ3 能否通过 $\mathrm{HSpin}_{4n}$ 的不变量将 Arason 不变量扩展至度数被 16 整除的中心单代数上的正交对合？
• RQ4 $\mathrm{HSpin}_{4n}$ 的不变量 $e_3$ 与该群的 Tits 代数之间有何关系？
• RQ5 $\mathrm{SL}_n/\mu_m$ 和 $\mathrm{HSpin}_{4n}$ 的不变量如何通过 Merkurjev 的正合序列与 Rost 不变量及相关不变量相互关联？

主要发现

• 对于 $G = \mathrm{SL}_n/\mu_m$ 和 $G = \mathrm{HSpin}_{4n}$，可约不变量群同构于 $\hat{C} \otimes F$，其中 $\hat{C}$ 是其普遍覆盖群中心的特征群。
• 对于 $\mathrm{HSpin}_{16}$，本文恢复并扩展了关于不可约不变量的已知结果，给出了公式 $e_3(x) = \Delta(z) + e_3^{\mathrm{Spin}}(y)$ 在 $H^3(F,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})/P$ 中，其中 $\Delta$ 是 $\mathrm{PSp}_8$ 的不变量。
• Arason 不变量 $e_3$ 扩展为一个良定义的不变量 $e_3(A,\sigma) \in H^3(F,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))/E(A)$，适用于度数被 16 整除且具有正交对合的中心单代数 $(A,\sigma)$。
• 不变量 $e_3(A,\sigma)$ 满足 $\operatorname{res}_{K/F}e_3(A,\sigma) = e_3(q_{\sigma \otimes K})$，当 $K$ 分裂 $A$ 时，这将其与 $K$ 上二次型的 Arason 不变量联系起来。
• 当且仅当 $e_3(A,\sigma) = 0$ 时，代数 $(A,\sigma)$ 属于 $I^4$，这推广了 Garibaldi 对度数 16 代数的结果。
• 该构造表明，对于 $I^3$ 中的度数 8 代数且具有正交对合，不存在此类不变量，从而确认了早期工作的结果。