[论文解读] Delaunay triangulation of manifolds

Jean‐Daniel Boissonnat, Ramsay Dyer+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法框架，用于在不将抽象流形嵌入欧几里得空间的情况下构建其Delaunay三角剖分。通过利用双Lipschitz坐标图册（双Lipschitz常数接近1），该方法在采样密度足够高时，即使在过渡映射无光滑性假设下，也能生成与原流形同胚的流形单纯复形。

ABSTRACT

We present an algorithmic framework for producing Delaunay triangulations of manifolds. The input to the algorithm is a set of sample points together with coordinate patches indexed by those points. The transition functions between nearby coordinate patches are required to be bi-Lipschitz with a constant close to 1. The primary novelty of the framework is that it can accommodate abstract manifolds that are not presented as submanifolds of Euclidean space. The output is a manifold simplicial complex that is the Delaunay complex of a perturbed set of points on the manifold. The guarantee of a manifold output complex demands no smoothness requirement on the transition functions, beyond the bi-Lipschitz constraint. In the smooth setting, when the transition functions are defined by common coordinate charts, such as the exponential map on a Riemannian manifold, the output manifold is homeomorphic to the original manifold, when the sampling is sufficiently dense.

研究动机与目标

• 开发一种适用于未嵌入欧几里得空间的流形的通用Delaunay三角剖分方法。
• 仅使用具有双Lipschitz过渡函数的坐标图册来处理抽象流形。
• 保证输出为有效的流形单纯复形，且无需过渡映射的光滑性假设。
• 在密集采样条件下确保输出的拓扑正确性——即与原流形同胚。
• 将Delaunay三角剖分技术扩展至一般黎曼流形及非光滑流形。

提出的方法

• 该算法以一组采样点及其关联的具有双Lipschitz过渡函数的坐标图册作为输入。
• 通过扰动流形上的采样点，确保其在局部坐标图册中满足Delaunay性质。
• 在每个局部坐标图册中使用标准的欧几里得Delaunay三角剖分构建局部Delaunay复形。
• 利用双Lipschitz结构将局部Delaunay复形拼接起来，以保持全局流形一致性。
• 通过验证局部邻域条件，确保最终复形为单纯流形。
• 依赖双Lipschitz条件来控制失真，并在图册间保持几何保真度。

实验结果

研究问题

• RQ1 Delaunay三角剖分能否推广至未嵌入欧几里得空间的抽象流形？
• RQ2 何种坐标图册条件可确保生成的三角剖分为有效的流形单纯复形？
• RQ3 过渡函数的双Lipschitz条件如何影响输出的拓扑正确性？
• RQ4 何种采样密度可保证输出复形与原流形同胚？
• RQ5 该框架能否在处理非光滑过渡函数的同时，仍生成拓扑正确的Delaunay复形？

主要发现

• 该框架仅使用双Lipschitz坐标图册，即可对抽象流形实现Delaunay三角剖分，且无需过渡映射的光滑性。
• 当采样密度足够高时，输出为保证拓扑正确的流形单纯复形。
• 在光滑情形下（如在黎曼流形上使用指数映射时），该方法可确保输出复形与原流形同胚。
• 双Lipschitz常数接近1的条件足以控制几何失真，并在图册间保持Delaunay性质。
• 该框架将Delaunay三角剖分扩展至欧几里得空间子流形之外的一般流形。
• 该算法构造对采样点的扰动具有鲁棒性，确保输出复形的稳定性。