[论文解读] Deligne-Beilinson Cohomology of Affine Groups

Richard Hain|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文为赋予混合霍赫结构的仿射群概形发展了德利涅-贝莱林上同调，建立了基本群相对完备化之德利涅-贝莱林上同调与拟射影代数簇上可接受的混合霍赫结构变化范畴中的Ext群之间的同构关系。主要贡献在于构造了一个与乘积相容的自然同构，推广了此前在幂零情形下的结果，并为迭代艾森斯坦积分的周期提供了上同调框架。

ABSTRACT

The goal of this paper is to develop the theory of Deligne-Beilinson cohomology of affine groups with a mixed Hodge structure. The motivation comes from Hodge theory and the study of motives, where such groups appear. Several of Francis Brown's period computations (arXiv:1407.5167) are interpreted as elements of the DB cohomology of the relative unipotent completion of $SL_2(Z)$ and their cup products. The results in this paper are used in arXiv:1403.6443 where they are used to prove that Pollack's quadratic relations are motivic.

研究动机与目标

• 将德利涅-贝莱林上同调理论推广至赋予混合霍赫结构的仿射群概形，推广此前在幂零情形下的结果。
• 以德利涅-贝莱林上同调的语言解释布朗对迭代艾森斯坦积分周期的计算结果。
• 建立基本群相对完备化的德利涅-贝莱林上同调与可接受的混合霍赫结构变化范畴中Ext群之间的自然同构关系。
• 证明从相对完备化的上同调到基底簇上同调的自然映射是混合霍赫结构的态射。
• 通过等变构造，将光滑簇上的上同调结果提升至轨道丛，从而将理论推广至轨道丛。

提出的方法

• 将赋予混合霍赫结构的仿射群 $ G $ 的德利涅-贝莱林上同调定义为霍赫表示范畴中的Ext群：$ H_{\mathcal{D}}^{\bullet}(G,V) := \operatorname{Ext}^{\bullet}_{{\sf HRep}(G)}(\mathbb{F},V) $。
• 利用涉及Ext与整体截面的自然正合列：$ 0\to\operatorname{Ext}^{1}_{\mathsf{MHS}}(\mathbb{F},H^{m-1}(G,V))\to H^{m}_{\mathcal{D}}(G,V)\to\Gamma H^{m}(G,V)\to 0 $。
• 利用混合霍赫复形理论，构造基本群的相对完备化 $ \mathcal{G}_x $ 的坐标环上的混合霍赫结构。
• 建立拟射影代数簇 $ X $ 上可接受的混合霍赫结构变化范畴与 $ \mathcal{G}_x $（即 $ \pi_1(X,x) $ 的相对完备化）的霍赫表示范畴之间的等价关系。
• 将比较映射 $ H^\bullet(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet(X,\mathbb{V}) $ 提升为德利涅-贝莱林上同调的态射：$ \theta: H^\bullet_{\mathcal{D}}(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet_{\mathcal{D}}(X,\mathbb{V}) $。
• 通过使用基本群为平凡的单连通覆盖 $ W $ 的投射，证明该映射 $ \theta $ 在度数0和1时为同构，在度数2时为单射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将德利涅-贝莱林上同调推广至赋予混合霍赫结构的仿射群概形？
• RQ2 基本群相对完备化的德利涅-贝莱林上同调与基底簇上混合霍赫结构变化的上同调之间有何关系？
• RQ3 从相对完备化上同调到基底簇上同调的自然比较映射是否与混合霍赫结构相容？
• RQ4 德利涅-贝莱林上同调与可接受变化范畴中Ext群之间的同构关系能否推广至轨道丛？
• RQ5 德利涅-贝莱林上同调中的上积结构与布朗对迭代艾森斯坦积分周期的计算结果有何关联？

主要发现

• 赋予混合霍赫结构的仿射群 $ G $ 的德利涅-贝莱林上同调同构于Ext群 $ \operatorname{Ext}^{\bullet}_{{\sf HRep}(G)}(\mathbb{F},V) $，其中 $ \mathbb{F} $ 表示平凡霍赫结构 $ \mathbb{F}(0) $。
• 存在一个自然同构 $ H^\bullet_{\mathcal{D}}(\mathcal{G}_x,V) \cong \operatorname{Ext}^\bullet_{{\mathsf{MHS}}(X,\mathbb{H})}(\mathbb{F},{\mathbb{V}}) $，且与所有自然上积相容，将相对完备化的上同调与混合霍赫结构的变化联系起来。
• 自然映射 $ H^\bullet(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet(X,\mathbb{V}) $ 是混合霍赫结构的态射，其中右侧的上同调赋予了赛井的混合霍赫结构。
• 比较映射 $ \theta: H^\bullet_{\mathcal{D}}(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet_{\mathcal{D}}(X,\mathbb{V}) $ 在度数0和1时为同构，在度数2时为单射。
• 该理论可推广至轨道丛：当 $ X = Y//\Gamma $ 时，$ X $ 上可接受的混合霍赫结构变化范畴等价于 $ Y $ 上 $ \Gamma $-不变变化的范畴，且通过具有平凡基本群的光滑 $ \Gamma $-覆盖 $ W $，上同调结果可被提升。
• 轨道丛版本的主定理成立：基本群 $ \pi_1(X,x) $ 的相对完备化的德利涅-贝莱林上同调同构于 $ X $ 上可接受变化范畴中的Ext群，且与上积相容。