[论文解读] Multiple Modular Values and the relative completion of the fundamental group of $M_{1,1}$

Francis Brown|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 24被引用 66

一句话总结

本文通过模空间 $\mathcal{M}_{1,1}$ 的基本群的相对完备化，构建了模形式动机的迭代扩张，建立了多重模值与椭圆曲线几何之间的联系。证明了从 motivic 多重 zeta 值到迭代 Eisenstein 积分空间的映射的核，由与尖点形式相关的关系生成，从而为多重 zeta 值中的尖点缺陷提供了几何解释。

ABSTRACT

Multiple modular values are a common generalisation of multiple zeta values and periods of modular forms, and are periods of a hypothetical Tannakian category of mixed modular motives. They are given by regularised iterated integrals on the upper half plane generalising the iterated Shimura integrals of Manin. In this paper, some first properties of the underlying theory are established in the case of the full modular group: in particular, the relationship with special values of L-functions of modular forms at all positive integers; and the action of the conjectural motivic Galois group via a certain group of automorphisms.

研究动机与目标

• 通过 $\mathcal{M}_{1,1}$ 的基本群的相对完备化，构建与模形式相关的动机的迭代扩张。
• 在混合 Hodge 结构的 Tannakian 范畴中，理解相对完备化 $\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$ 作为 pro-代数群的结构。
• 通过几何约束和单值性，将 motivic 多重 zeta 值与 Eisenstein 系列及尖点形式的迭代积分联系起来。
• 通过 cusp 形式在迭代 Eisenstein 积分空间中的正交性，解释多重 zeta 值中尖点缺陷的几何起源。

提出的方法

• 将 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 的相对完备化 $\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$ 视为 Betti 与 de Rham 实现的混合 Hodge 结构 Tannakian 范畴 $\mathcal{H}$ 中的 pro-代数群。
• 应用 $\mathcal{H}$ 的 Tannaka 对偶性，通过与单值性和尖点处的幂单性相容的自同构 $\mathbb{A}^{\omega}$，在 $\mathcal{G}^{\omega}_{1,1}$ 上定义 Tannaka 群 $\mathcal{G}^{\omega}_{\mathcal{H}}$ 的作用。
• 分析相对完备化的几何部分 $\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}$ 的分次李代数，将其识别为由 zeta 元素 $\sigma_{2n+1}$ 生成的双分次李代数。
• 建立 $\mathfrak{d}^1$ 与 $\mathfrak{d}^2$ 之间的正合列，表明到 $\mathfrak{d}^2$ 的映射的核同构于尖点形式的周期多项式空间，例如在权 12 中的 $X^8Y^2 - 3X^6Y^4 + 3X^4Y^6 - X^2Y^8$。
• 利用分解定理，将 Eisenstein 系列的迭代积分空间嵌入到 $\sigma_{2n+1}$ 的对偶空间上的张量余代数中，表明在权 12 中 $\mathrm{gr}^L_2\mathcal{O}(\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}_+)$ 的像是由 $3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7$ 张成的。
• 证明正规化后的多重椭圆 polylogarithm 和迭代 Eisenstein 积分的值与尖点形式正交，从而解释了多重 zeta 值中尖点缺陷的成因。

实验结果

研究问题

• RQ1 $\mathcal{M}_{1,1}$ 的基本群的相对完备化是否能生成 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 的所有预期的模形式动机的扩张？
• RQ2 motivic 多重 zeta 值如何与 Eisenstein 系列及尖点形式的迭代积分相关联？
• RQ3 多重 zeta 值中尖点缺陷的几何起源是什么？
• RQ4 $\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$ 的李代数中 $\sigma_f(d)$ 元素之间的关系如何对应于尖点形式？
• RQ5 极限混合 Hodge 结构在编码 $\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$ 结构中起什么作用？

主要发现

• 从 motivic 多重 zeta 值到迭代 Eisenstein 积分空间的映射的核，在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上由关系 $\sigma_f(d)\mathbf{e}_f$ 生成，其中 $f$ 为权 $2n+2$ 的归一化 Hecke 尖点形式。
• 在权 12 中，周期多项式 $X^8Y^2 - 3X^6Y^4 + 3X^4Y^6 - X^2Y^8$ 对应该权中 $\mathfrak{d}^2$ 内的 Ihara-Takao 关系 $[\mathrm{gr}_D^1\sigma_3, \mathrm{gr}_D^1\sigma_9] - 3[\mathrm{gr}_D^1\sigma_5, \mathrm{gr}_D^1\sigma_7] = 0$。
• 在权 12 中，$\mathrm{gr}^L_2\mathcal{O}(\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}_+)$ 模掉乘积后的像是由 $3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7$ 张成的一维子空间，位于尖点形式空间的对偶中。
• 如 $\zeta^{\mathfrak{m}}(3,9)$ 和 $\zeta^{\mathfrak{m}}(4,8)$ 这类双 motivic zeta 值分别映射到 $-9(3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7)$ 和 $16(3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7)$，确认了其与尖点形式的正交性。
• 线性组合 $9[\mathbf{e}_4\mathsf{Y}^2, \mathbf{e}_{10}\mathsf{Y}^8] + 14[\mathbf{e}_6\mathsf{Y}^4, \mathbf{e}_8\mathsf{Y}^6]$ 属于 $\mathrm{gr}^L_2\mathcal{O}(\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}_+)$ 的像，且与所有尖点形式正交，解释了尖点缺陷中 $L$-值的抵消现象。
• 由正规化后的多重椭圆 polylogarithm 导出的 Eisenstein 系列的迭代积分与尖点形式正交，为多重 zeta 值中尖点缺陷提供了几何解释。