[论文解读] Deligne categories as limits in rank and characteristic

Nate Harman|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 18

一句话总结

本文在特征零与大秩、大特征的对称群和一般线性群的模表示理论之间，建立了 Deligne 族 $\underline{Rep}(GL_t)^{ab}$ 与 $\underline{Rep}(S_t)^{ab}$ 的新联系。通过使用非主超滤子的超积构造，证明了这些 Deligne 族是当 $p \to \infty$ 时 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上表示范畴的极限，从而实现了复秩与正特征情形之间结果的转移。

ABSTRACT

We give new interpretations of the Deligne categories $\underline{Rep}(GL_t)$ and $\underline{Rep}(S_t)$ (and their abelian envelopes) over $\mathbb{C}$ in terms of modular representations of general linear and symmetric groups of large rank in large characteristic. In particular we make sense of the sentence "$\underline{Rep}(S_n)$ is the limit of $Rep(S_{p+n})$ over $\bar{\mathbb{F}}_p$ as $p$ goes to infinity". We then give examples of how to pass results between these different settings.

研究动机与目标

• 将特征零下的 Deligne 的殆张量范畴 $\underline{Rep}(GL_t)^{ab}$ 与 $\underline{Rep}(S_t)^{ab}$ 重新解释为 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上表示范畴的极限。
• 利用超积与超滤子建立严格框架，以捕捉当秩与特征均趋于无穷时表示范畴的渐近行为。
• 实现大特征下模表示理论与复秩下 Deligne 族之间结果的转移。
• 通过正特征下的类比，为 Deligne 族中单代数与标准模的结构提供新视角。

提出的方法

• 利用非主超滤子构造序列表示范畴 $\mathrm{Rep}(G_n, \overline{\mathbb{F}}_p)$（$G_n = GL_n$ 或 $S_n$）的超积。
• 将超积范畴 $\widehat{\mathcal{C}}_\mathcal{U}$ 定义为极限范畴，其对象与态射为在超滤子下等价类的芽。
• 将超积限制在由正规表示生成的可管理子范畴 $\mathcal{C}_\mathcal{U}$ 上，确保其与 Deligne 族等价。
• 将超积构造应用于证明 $\underline{Rep}(S_t)^{ab}$ 是 $\mathrm{Rep}(S_{p+n}, \overline{\mathbb{F}}_p)$ 当 $p \to \infty$ 时的极限。
• 利用 Deligne 族中标准模与不可约模的重数等价性，建立正特征与超群表示理论之间的联系。
• 通过稳定化的 Kac 模重数，建立 $\mathfrak{gl}(n+m|m)$ 中可接受权与 $\mathrm{Rep}(GL_{n+p}, \overline{\mathbb{F}}_p)$ 中最高权之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将复秩下的 Deligne 族解释为大特征下模表示范畴的极限？
• RQ2 超滤子在构造捕捉表示范畴渐近行为的范畴极限中起着怎样的精确作用？
• RQ3 能否将大秩与大特征下模表示理论的结果转移到复秩下的 Deligne 族中？
• RQ4 在 $\mathrm{Rep}(GL_{n+p}, \overline{\mathbb{F}}_p)$ 中的标准模与不可约模结构，如何与超群表示 $\mathrm{Rep}(GL(n+m|m))$ 中的结构相关联？
• RQ5 在 Deligne 的殆张量包络背景下，稳定化 Kac 模重数具有何种意义？

主要发现

• 当 $t$ 为超越数时，$\underline{Rep}(S_t)^{ab}$ 的殆张量包络同构于 $\mathrm{Rep}(S_{p+n}, \overline{\mathbb{F}}_p)$ 沿 $p \to \infty$ 的超积极限，为 Deligne 族提供了新实现。
• 对固定的双分拆 $\lambda, \mu$，在 $\mathrm{Rep}(GL(n+m|m))$ 中的重数 $[K(\lambda), L(\mu)]$ 随 $m \to \infty$ 而稳定，且对充分大的 $p$，其与 $\mathrm{Rep}(GL_{n+p}, \overline{\mathbb{F}}_p)$ 中的重数 $[\Delta(\lambda), L(\mu)]$ 一致。
• 超积构造产生一个与 $\underline{Rep}(GL_n)^{ab}$ 等价的范畴，表明该 Deligne 族是大特征下模表示的极限。
• 该理论使得能够通过将 Etingof 在 $\mathbb{C}$ 上的分类推广至大特征下的代数闭域，来刻画 $\underline{Rep}(S_t)^{ab}$ 中的单交换代数。
• 通过稳定化的 Kac 模重数，形式化了模表示与超群表示之间的对应关系，从而将正特征表示理论与超群表示理论联系起来。
• 本文提供了一个在 Deligne 族与模表示理论之间转移结果的框架，其代表性成果为对对称群不可约模表示的显式公式。