[论文解读] Delocalization and ergodicity of the Anderson model on Bethe lattices

Giulio Biroli, Marco Tarzia|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2018

Theoretical and Computational Physics参考文献 1被引用 41

一句话总结

本文通过 Belief Propagation 分析 Bethe 晶格上的 Anderson 模型的去局部化的非遍历态和遍历态，揭示 Cayley 树上的去局部化非遍历相，以及在随机规则图 (RRG) 上超过一个与无序相关的尺度 N_c(W) 的遍历跨越。

ABSTRACT

We review the state of the art on the delocalized non-ergodic regime of the Anderson model on Bethe lattices. We also present new results using Belief Propagation, which consists in solving the self-consistent recursion relations for the Green's functions directly on a given sample. This allows us to numerically study very large system sizes and to directly access observables related to the eigenfunctions and energy level statistics. In agreement with recent works, we establish the existence of a delocalized non-ergodic phase on Cayley trees. On random regular graphs instead our results indicate that ergodicity is recovered when the system size is larger than a cross-over scale $N_c (W)$, which diverges exponentially fast approaching the localization transition. This scale corresponds to the size at which the mean-level spacing becomes smaller than the Thouless energy $E_{Th} (W)$. Such energy scale, which vanishes exponentially fast approaching the localization transition, is the one below which ergodicity in the level statistics is restored in the thermodynamic limit. Remarkably, the behavior of random regular graphs below $N_c (W)$ coincides with the one found close to the root of loop-less infinite Cayley trees, {\it i.e.} only above $N_c (W)$ the effects of loops emerge and random regular graphs behave differently from Cayley trees. Our results indicate that ergodicity is recovered in the thermodynamic limit on random regular graph. However, all observables probing volumes smaller than $N_c(W)$ and times smaller than $\hbar/E_{Th} (W)$ are expected to behave as if there were an intermediate phase. Given the very fast divergence of $N_c(W)$ and $\hbar/E_{Th} (W)$ these non-ergodic effects are very pronounced in a large region preceding the localization transition, and they can be related to the intermediate phase present on Cayley trees.

研究动机与目标

• 调查 Bethe 晶格上 Anderson 模型的去局部化非遍历态。
• 区分在随机规则图上的遍历行为与 Cayley 树上的非遍历行为。
• 开发并应用 Belief Propagation 来求解大型有限样本上的自洽 Green 函数方程。
• 获得与本征函数和能量水平统计相关的观测量，如水平压缩性和本征态重叠。
• 表征系统规模和无序对这些晶格的遍历性和多重分形性的影响。

提出的方法

• 使用 Belief Propagation (BP) 求解大型有限样本上的 Green 函数自洽递推关系。
• 比较随机规则图 (RRG) 与 Cayley 树上的 BP 结果，以揭示边界/环效应。
• 通过相邻间隙比 r 和相邻本征向量之间的互相重叠 q 计算能级统计。
• 测量逆参与比（IPR）和支撑集合以评估多重分形性与遍历性。
• 分析分形维度谱 f(α) 及其边界 α_- 和 α_1 的分布，以表征多重分形性。
• 识别在 RRG 中实现遍历性的临界尺寸 N_c(W)，并将其与 Thouless 能量 E_Th(W) 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cayley 树和/或随机规则图上是否存在去局部化的非遍历相？
• RQ2 在热力学极限下随机规则图上的遍历性是否被恢复，且临界尺度 N_c(W) 是多少？
• RQ3 在 Bethe 晶格上，随无序强度和系统规模的变化，能级统计与本征函数统计如何表现？
• RQ4 边界和环效应在此情境下如何区分 Cayley 树 与 随机规则图？
• RQ5 在去局部化态中的多重分形如何影响可观测量如 IPR 与 f(α)？

主要发现

• 在 Cayley 树上存在真正的去局部化非遍历相，特征为多重分形本征函数。
• 在随机规则图上，热力学极限下遍历性被恢复，存在一个随无序强度而变化的临界尺度 N_c(W)，在接近局部化转变时指数发散。
• RRG 上的遍历相时的能级统计呈 GOE 型，但有限尺寸效应导致随 N 的观测量非单调行为，且由 N_c(W) 表征。
• 跨越 Thouless 能量 E_Th(W) 的平均能级间距定义了在热力学极限下重新出现遍历性的能量尺度。
• 分形指数 D_1 和 D_2 随 N 与 W 的变化呈现非单调的有限尺寸效应，与临界区域相关。
• 在临界附近，奇异性谱 f_N(α) 展现随系统尺寸变化的非单调演化， 将 Cayley 树的多重分形性与 RRG 的非遍历特征联系起来。