[论文解读] Delooping totalization of a multiplicative operad

Victor Tourtchine|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了由乘法操作族导出的余单纯空间的总化（totalization）与该操作族自身到自身的导出态射的双循环空间（double loop space）之间的同伦等价。通过在双模与操作族范畴中构造显式的拟投射模型，作者给出了一个几何的、同伦论的证明，通过两次延拓（delooping）总化空间，从而得出双循环空间结构。

ABSTRACT

The paper shows that under some conditions the totalization of a cosimplicial space obtained from a multiplicative operad is a double loop space of the space of derived morphisms from the associative operad to the operad itself.

研究动机与目标

• 建立由乘法操作族导出的余单纯空间的总化与从结合操作族到该操作族自身的导出态射的双循环空间之间的同伦等价。
• 提供一种几何的、同伦论的证明，实现对总化空间的两次延拓，避免过度依赖抽象同伦论技术。
• 在嵌套范畴（弱双模、双模、操作族）中，为结合操作族构造显式的拟投射模型。
• 证明总化空间在操作族范畴中同伦等价于导出态射空间的双循环空间。

提出的方法

• 在 $\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$ 上的弱双模范畴中，为结合操作族 $\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$ 构造一个拟投射模型 $\widetilde{\triangle}$。
• 在 $\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$ 上的双模范畴中，为 $\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$ 构造一个拟投射模型 $\widetilde{\square}$。
• 在非-$\Sigma$ 操作族范畴中，为 $\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$ 构造一个拟投射模型 $\widetilde{\text{\textasciigrave}}$。
• 通过逐步延拓，建立同伦等价 $\Omega^2 \operatorname{Operads}(\widetilde{\text{\textasciigrave}}, \mathcal{O}) \simeq \operatorname{Tot} \mathcal{O}(\bullet)$。
• 利用总化空间之间映射的纤维分析，证明在循环空间上诱导的映射是同伦等价。
• 利用半单纯总化与完整总化的等价性，通过初始忽略退化性，简化构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 由乘法操作族导出的余单纯空间的总化是否同伦等价于从结合操作族到该操作族自身的导出态射的双循环空间？
• RQ2 是否可以几何地构造总化空间的双延拓，而无需依赖高级同伦论工具？
• RQ3 在弱双模、双模与操作族范畴中，结合操作族的显式拟投射模型有哪些？
• RQ4 双模结构中单元的包含如何影响总化空间的同伦类型？
• RQ5 乘法操作族的总化与操作族范畴中导出态射空间之间的确切关系是什么？

主要发现

• 乘法操作族的总化 $\operatorname{Tot} \mathcal{O}(\bullet)$ 同伦等价于 $\Omega^2 \widetilde{\operatorname{Operads}}(\mathcal{A}_{\text{ssoc}}, \mathcal{O})$。
• 通过拟投射模型，显式构造了同伦等价 $\Omega^2 \operatorname{Operads}(\widetilde{\text{\textasciigrave}}, \mathcal{O}) \simeq \operatorname{Tot} \mathcal{O}(\bullet)$。
• $\widetilde{\triangle}$ 是 $\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$ 在 $\underset{\mathcal{A}_{\text{ssoc}}}{\operatorname{Wbimod}}$ 中的拟投射模型，为一个可缩的、拟投射的余单纯空间，其分量为无限维 CW 复形。
• 映射 $\tilde{\zeta}_{n,i}$ 在总化空间与双模空间的循环空间之间诱导了纤维上的同伦等价，从而逐步证明了延拓步骤。
• 该构造依赖于 $B\widetilde{\text{\textasciigrave}}_{n-1,i}$ 中的自由胞腔附着，以及在双模纤维分析中包含穿孔圆盘。
• 该结果与 Dwyer 和 Hess 的早期结果一致，但本证明更具几何直观，且对同伦论工具的依赖更少。