[论文解读] Derivations and Iterated Skew Polynomial Rings

Michael Gr. Voskoglou|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文研究导子及其在确定迭代斜多项式环的简洁性中的作用。结果表明，对于一个在特征为零的域上具有克鲁尔维数一的交换、有限生成代数，相对于单个导子的微分简洁性，既是相应斜多项式环简洁性的必要条件，也是充分条件。

ABSTRACT

Two are the objectives of the present paper. First we study properties of a differentially simple commutative ring R with respect to a set D of derivations of R. Among the others we investigate the relation between the D-simplicity of R and that of the local ring RP with respect to a prime ideal P of R and we prove a criterion about the D- simplicity of R in case where R is a 1-dimensional (Krull dimension) finitely generated algebra over a field of characteristic zero and D is a singleton set. The above criterion was quoted without proof in an earlier paper of the author. Second we construct a special class of iterated skew polynomial rings defined with respect to finite sets of derivations of a ring R (not necessarily commutative) commuting to each other. The important thing in this class is that, if R is a commutative ring, then its differential simplicity is the necessary and sufficient condition for the simplicity of the corresponding skew polynomial ring. Key-Words- Derivations, Differentially simple rings, Finitely-generated algebras, Iterated skew polynomial rings, Simple rings.

研究动机与目标

• 分析交换环在一组导子下的 D-简洁性。
• 研究环 R 的 D-简洁性与其在素理想处的局部化之间的关系。
• 为在特征为零的域上，当 D 为单元素集时，1维有限生成代数的 D-简洁性建立一个判别准则。
• 通过环 R 上的两两可交换导子构造一类迭代斜多项式环。
• 证明当 R 为交换环时，其微分简洁性是相应斜多项式环简洁性的必要且充分条件。

提出的方法

• 分析交换环上导子的结构及其在素理想处局部化下的行为。
• 应用交换代数与微分代数的技术，研究导子作用下环的理想结构。
• 利用有限生成性与克鲁尔维数为一的假设，推导出单个导子情形下 D-简洁性的判别准则。
• 通过两两可交换的导子序列构造迭代斜多项式环。
• 将微分简洁性作为关键条件，以确保所得斜多项式环的简洁性。
• 利用可交换导子允许对斜多项式扩张进行良好定义的迭代构造这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有导子集 D 的交换环 R 是 D-简洁的？
• RQ2 R 的 D-简洁性与 R 在素理想处的局部化 RP 的 D-简洁性有何关系？
• RQ3 当 D 为单元素集时，何种判别准则可确保在特征为零的域上1维有限生成代数的 D-简洁性？
• RQ4 何种条件可保证由可交换导子构造的迭代斜多项式环是简洁的？
• RQ5 交换环 R 的微分简洁性是否既是相应斜多项式环简洁性的必要条件，也是充分条件？

主要发现

• 对于一个在特征为零的域上具有克鲁尔维数一的交换、有限生成代数 R，R 是 D-简洁的当且仅当其没有非平凡的 D-不变理想。
• R 的 D-简洁性蕴含其在任意素理想 P 处的局部化 RP 的 D-简洁性。
• 当 D 为单元素集时，R 的 D-简洁性由 R 中不存在非平凡 D-稳定理想来刻画。
• 由环 R 上可交换导子构造的迭代斜多项式环是简洁的，当且仅当 R 是微分简洁的。
• 通过可交换导子构造迭代斜多项式环可得到一个具有良好定义的环结构，且其理想理论受控。
• 本文为此前作者早期工作中仅引用而未加证明的 D-简洁性判别准则提供了证明。