[论文解读] Derivator Six Functor Formalisms -- Definition and Construction I

Fritz Hörmann|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一种使用纤维化多导出器和2-多重范畴中的（反）纤维化来统一描述导出六函子形式系统的框架，实现了对所有六种函子及其相容性（包括基变换、投影公式和同伦柯朗扩张）的紧凑且一致的编码。关键贡献在于一个通用构造：任何满足基变换和投影公式的纤维化多导出器均可转化为一个导出六函子形式系统，其中 $f_! = f_*$，从而建立了格罗滕迪克六函子形式系统在导出范畴中的版本。

ABSTRACT

A theory of a derivator version of six-functor-formalisms is developed, using an extension of the notion of fibered multiderivator due to the author. Using the language of (op)fibrations of 2-multicategories this has (like a usual fibered multiderivator) a very neat definition. This definition not only encodes all compatibilities among the six functors but also their interplay with homotopy Kan extensions. One could say: a nine-functor-formalism. This is essential for dealing with (co)descent questions. Finally, it is shown that every fibered multiderivator (for example encoding any kind of derived four-functor formalism $(f_*, f^*, \otimes, \mathcal{HOM})$ occurring in nature) satisfying base-change and projection formula formally gives rise to such derivator six-functor-formalism in which $f_!=f_*$, i.e. a derivator Grothendieck context.

研究动机与目标

• 使用高阶范畴结构开发一种统一且紧凑的导出六函子范畴形式系统。
• 在一个统一框架中编码所有标准相容性（基变换、投影公式等）及其与同伦柯朗扩张的相互作用。
• 证明任何满足基变换和投影公式的纤维化多导出器自然地导出一个满足 $f_! = f_*$ 的导出六函子形式系统。
• 为在导出和动机上下文中系统研究（共）下降和对偶定理奠定基础。

提出的方法

• 将纤维化多导出器的概念扩展至包含2-多重范畴中的（反）纤维化，以精确控制函子性。
• 使用严格自然变换和1-柯朗德映射来形式化不同图中函子之间的相容性。
• 将导出六函子形式系统定义为对应关系2-多重范畴上的伪函子，通过复合律强制实现一致性。
• 应用余柯朗投影子理论，在导出范畴设定中构造所需的伴随关系和同构。
• 利用（共）局部化性质和稳定导出范畴形式系统中的 $n$-角，确保与同伦极限和余极限的相容性。
• 依赖可表示预2-多重导出器和2-（共）柯朗德映射的理论，以确保一致性和函子性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以统一方式定义导出范畴中的六函子形式系统，使其能一致编码所有标准相容性及其与同伦柯朗扩张的相互作用？
• RQ2 纤维化多导出器需满足何种结构条件，才能保证存在一个满足 $f_! = f_*$ 的导出六函子形式系统？
• RQ3 纤维化多导出器中的基变换和投影公式如何共同诱导出完整的导出六函子形式系统？
• RQ4 是否能通过2-多重范畴和纤维化，将整个六函子形式系统（包括对偶性和（共）下降）统一在一个形式系统中？
• RQ5 $n$-角和（共）局部化性质在稳定化形式系统并确保一致性方面起到何种作用？

主要发现

• 导出六函子形式系统被定义为对应关系2-多重范畴上的伪函子，所有相容性均通过2-多重范畴中的复合律编码。
• 该构造表明，任何满足基变换和投影公式的纤维化多导出器均可自然导出一个满足 $f_! = f_*$ 的导出六函子形式系统，从而实现导出范畴中的格罗滕迪克上下文。
• 该形式系统自然地将所有标准同构（基变换、投影公式等）作为2-多重范畴中复合律的推论编码。
• 该理论通过包含全部九个函子（$f_*, f^*, f_!, f^!, igotimes, ext{Hom}$ 及其导出变体）来支持（共）下降问题。
• 使用1-柯朗德严格自然变换确保图中的一致性，而（共）局部化性质则确保形式系统的稳定性。
• 该框架足够通用，可统一捕捉所有标准例子，包括层的导出范畴、D-模和动机。