[论文解读] Derived Azumaya algebras and generators for twisted derived categories

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文引入了导出 Azumaya 代数作为经典 Azumaya 代数的 dg-代数类比，证明了对于任意拟紧且拟分离的概形 $X$，$H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ 中的每一类——包括非挠类——均可作为某个导出 Azumaya 代数的特征类出现。关键结果建立了 $X$ 上导出 Azumaya 代数的 Morita 等价类与 $H^1_{\text{ét}}(X, \bbZ) \times H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ 之间的双射对应，从而解决了 Grothendieck 关于该群中所有 étale 上同调类可表示性的问题。

ABSTRACT

We introduce a notion of derived Azumaya's algebras over rings and schemes. We prove that any such algebra $B$ on a scheme $X$ provides a class $ϕ(B)$ in $H^{1}_{et}(X,\mathbb{Z}) imes H^{2}_{et}(X,\mathbb{G}_{m})$. We prove that for $X$ a quasi-compact and quasi-separated scheme $ϕ$ defines a bijective correspondence, and in particular that any class in $H^{2}_{et}(X,\mathbb{G}_{m})$, torsion or not, can be represented by a derived Azumaya's algebra on $X$. Our result is a consequence of a more general theorem about the existence of compact generators in \emph{twisted derived categories, with coefficients in any local system of reasonable dg-categories}, generalizing the well known existence of compact generators in derived categories of quasi-coherent sheaves of \cite{bv} (corresponding to the trivial local system of dg-categories). A huge part of this paper concerns the correct treatment of these twisted derived categories, as well as the proof that the existence of compact generators locally for the fppf topology implies the existence of a global compact generator.

研究动机与目标

• 将 Grothendieck 的 Azumaya 代数理论扩展至 $H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ 中的非挠类，这些类经典 Azumaya 代数无法表示。
• 定义并研究作为满足导出 Morita 自对偶性条件的完美复形的 dg-代数的导出 Azumaya 代数。
• 证明 $H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ 中的每一类，无论是否为挠类，都可在拟紧且拟分离的概形 $X$ 上实现为某个导出 Azumaya 代数的特征类。
• 在局部系统取值于 dg-范畴的扭曲导出范畴中，建立紧生成元的存在性，推广经典结果。

提出的方法

• 将导出 Azumaya 代数定义为 $bO_X$-dg-代数的层，其为完美复形，并通过 quasi-isomorphism $B \otimes^\bbL_{\bbO_X} B^{\text{op}} \to \bbR\underline{\mathcal{H}om}_{\bbO_X}(B,B)$ 满足导出 Morita 自对偶性条件。
• 构造一个特征类映射 $\phi: dBr(X) \to H^1_{\text{ét}}(X, \bbZ) \times H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$，推广 Grothendieck 的经典类 $\gamma(A)$。
• 证明导出 Azumaya 代数在 étale 拓扑下局部平凡，从而可应用下降技术。
• 使用 fppf 拓扑上的粘贴论证，表明局部存在紧生成元可推出全局存在性。
• 应用关于取值于局部系统 dg-范畴的扭曲导出范畴中紧生成性的通用定理。
• 利用 $\omega$-范畴的下降准则与相对极限，证明满足特定伴随与极限条件的预层为堆。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意拟紧且拟分离的概形 $X$，$H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ 中的每一类，包括非挠类，是否都能由某个导出 Azumaya 代数表示？
• RQ2 在概形 $X$ 上，若扭曲导出范畴存在紧生成元，是否意味着即使该范畴不是标准导出范畴，也存在全局紧生成元？
• RQ3 导出 Azumaya 代数与经典 Azumaya 代数之间有何关系？在何种情况下它们表示经典理论无法捕捉的类？
• RQ4 导出范畴中紧生成元的理论在多大程度上可推广至取值于局部系统 dg-范畴的扭曲导出范畴？
• RQ5 能否利用导出 Azumaya 代数的存在性建立扭曲代数 K-理论的局部化定理？

主要发现

• 对于任意拟紧且拟分离的概形 $X$，映射 $\phi: dBr(X) \to H^1_{\text{ét}}(X, \bbZ) \times H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ 是双射，证明了 $H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ 中的所有 étale 上同调类均可由导出 Azumaya 代数表示。
• 导出 Azumaya 代数对 $H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ 中的所有类均存在，包括非挠类，例如来自 Mumford 的正规曲面或平凡 Azumaya 代数的一阶形变所诱导的类。
• 本文构造了显式例子，其导出 Azumaya 代数不与任何经典 Azumaya 代数 Morita 等价，从而证明了导出框架的必要性。
• 在较弱条件下，建立了取值于局部系统 dg-范畴的扭曲导出范畴中紧生成元的存在性，推广了 Bondal 与 Van den Bergh 的经典结果。
• 作为导出 Azumaya 代数存在性的推论，建立了扭曲代数 K-理论的局部化定理，为 K-理论计算提供了新工具。
• 证明沿光滑且完备映射的饱和 dg-范畴的直接像仍为饱和，扩展了在前推下稳定性结果。