[论文解读] Derived categories of (one-sided) exact categories and their localizations

Ruben Henrard, Adam-Christiaan van Roosmalen|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文为精确范畴与单边精确范畴的有界导出范畴建立了 Verdier 局域化序列，表明在渗透子范畴上进行局部化可通过两步过程诱导出导出等价：首先对一族态射进行局部化以获得单边精确范畴，然后取其精确包。关键结果是商范畴的导出范畴是原导出范畴的 Verdier 商，且与增强结构相容，适用于非连通 K-理论等不变量。

ABSTRACT

We consider the quotient of an exact or one-sided exact category $\mathcal{E}$ by a so-called percolating subcategory $\mathcal{A}$. For exact categories, such a quotient is constructed in two steps. Firstly, one localizes $\mathcal{E}$ at a suitable class $S_\mathcal{A} \subseteq \operatorname{Mor}(\mathcal{E})$ of morphisms. The localization $\mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}]$ need not be an exact category, but will be a one-sided exact category. Secondly, one constructs the exact hull $\mathcal{E}{/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ of $\mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}]$ and shows that this satisfies the 2-universal property of a quotient amongst exact categories. In this paper, we show that this quotient $\mathcal{E} o \mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ induces a Verdier localization $\mathbf{D}^b(\mathcal{E}) o \mathbf{D}^b(\mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A})$ of bounded derived categories. Specifically, (i) we study the derived category of a one-sided exact category, (ii) we show that the localization $\mathcal{E} o \mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}]$ induces a Verdier quotient $\mathbf{D}^b(\mathcal{E}) o \mathbf{D}^b(\mathcal{E}[S^{-1}_\mathcal{A}])$, and (iii) we show that the natural embedding of a one-sided exact category $\mathcal{F}$ into its exact hull $\overline{\mathcal{F}}$ lifts to a derived equivalence $\mathbf{D}^b(\mathcal{F}) o \mathbf{D}^b(\overline{\mathcal{F}})$. We furthermore show that the Verdier localization is compatible with several enhancements of the bounded derived category, so that the above Verdier localization can be used in the study of localizing invariants, such as non-connective $K$-theory.

研究动机与目标

• 将导出范畴理论扩展至单边精确范畴，其比阿贝尔范畴或精确范畴更具一般性。
• 在单边精确范畴与其精确包之间建立导出等价，以保持同调不变量。
• 证明在渗透子范畴上的局部化可诱导有界导出范畴上的 Verdier 局域化。
• 证明导出局部化与 dg 和 ∞-范畴增强结构相容。
• 将该框架应用于局部紧阿贝尔群及其相关范畴，表明其导出范畴在局部化下表现良好。

提出的方法

• 通过有界复形与相容的准同构定义单边精确范畴的导出范畴。
• 通过反转与渗透子范畴 A 关联的右乘法系统 S_A，从精确范畴 E 构造局部化函子 E → E[S_A^{-1}]。
• 证明 E[S_A^{-1}] 是单边精确范畴，即使其在 Quillen 意义下并非精确范畴。
• 将 E[S_A^{-1}] 的精确包构造为包含它的最小精确范畴，记为 E//A。
• 证明单边精确范畴嵌入其精确包的映射在有界导出范畴上诱导出导出等价。
• 建立导出局部化与 dg 增强及 ∞-范畴增强的相容性，确保其在 K-理论不变量中的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在渗透子范畴上对精确范畴进行局部化是否会在其有界导出范畴上诱导出 Verdier 局域化？
• RQ2 单边精确范畴的导出范畴能否被有意义地定义，并与它的精确包的导出范畴进行比较？
• RQ3 局部化后单边精确范畴的精确包的导出范畴是否与原始范畴的导出范畴等价？
• RQ4 导出局部化如何与更高范畴增强结构（如 dg 增强或 ∞-范畴）相互作用？
• RQ5 该框架能否应用于非阿贝尔范畴，如局部紧阿贝尔群范畴？

主要发现

• 局部化 E → E[S_A^{-1}] 诱导出 Verdier 商 D^b(E) → D^b(E[S_A^{-1}])，其核由取值在 A 中的复形生成。
• 精确包构造 E[S_A^{-1}] → E//A 诱导出导出等价 D^b(E[S_A^{-1}]) ≃ D^b(E//A)，因此精确包的导出范畴与局部化范畴的导出范畴等价。
• 完整的导出局部化序列 D^b_A(E) → D^b(E) → D^b(E//A) 成立，其中 D^b_A(E) 是由 A 中复形生成的厚子范畴。
• 单边精确范畴与其精确包之间的导出等价与 dg 增强及 ∞-范畴增强相容。
• 该框架适用于局部紧阿贝尔群范畴，表明该范畴中的局部化可产生精确的导出范畴。
• 满足 R0* 条件的余膨胀-精确范畴的弱投射完备化与导出范畴相容，并在有界导出范畴上诱导出三角等价。