[论文解读] Derived division functors and mapping spaces

Benoît Fresse|ArXiv.org|Aug 12, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文为巴里特-埃克尔斯操作子上的 $E_∞$-代数构造了一个导出除法函子，建立了在 $N^*(Y)$ 关于 $N_*(X)$ 的导出除法与映射空间 $ olinebreak ext{Map}(X,Y)$ 的标准化上链复形之间的拟同构。该构造将兰内斯的 $T$-函子推广至 $E_\infty$-代数，并通过 $E_\infty$-结构为映射空间提供了函子性模型。

ABSTRACT

The normalized cochain complex of a simplicial set N^*(Y) is endowed with the structure of an E_{infinity} algebra. More specifically, we prove in a previous article that N^*(Y) is an algebra over the Barratt-Eccles operad. According to M. Mandell, under reasonable completeness assumptions, this algebra structure determines the homotopy type of Y. In this article, we construct a model of the mapping space Map(X,Y). For that purpose, we extend the formalism of Lannes' T functor in the framework of E_{infinity} algebras. Precisely, in the category of algebras over the Barratt-Eccles operad, we have a division functor -oslash N_(X) which is left adjoint to the functor Hom_F(N_*(X),-). We prove that the associated left derived functor -oslash^L N_*(X) is endowed with a quasi-isomorphism N^*(Y) oslash^L N_*(X) --> N^* Map(X,Y).

研究动机与目标

• 将兰内斯的 $T$-函子形式化推广至巴里特-埃克尔斯操作子上的 $E_\infty$-代数情境。
• 构造一个导出除法函子 $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$，以建模映射空间 $\operatorname{Map}(X,Y)$ 的上链复形。
• 为单纯集 $X$ 和 $Y$ 建立一个函子性拟同构 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \xrightarrow{\sim} N^*\operatorname{Map}(X,Y)$。
• 通过构造一个与 $E_\infty$-代数结构相容的同伦 Eilenberg-Zilber 等价，解决经典 Eilenberg-Zilber 映射与 $E_\infty$-结构之间的不相容性。

提出的方法

• 在巴里特-埃克尔斯操作子代数范畴中使用上纤维化解析，以定义左导出函子 $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$。
• 在 $E_\infty$-代数范畴中应用除法函子 $- \oslash N_*(X)$，该函子是 $\operatorname{Hom}_{\mathbf{F}}(N_*(X), -)$ 的左伴随。
• 通过单纯形上的函子性构造一个自然态射 $F_{X\times Y} \to N^*(X) \widehat{\otimes} N^*(Y)$，从而导出同伦 Eilenberg-Zilber 等价。
• 通过在 Postnikov 层叠上使用归纳法，证明当 $Y = K(\mathbb{Z}/2,n)$ 时，态射 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \to N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ 是拟同构。
• 通过验证面向与退化映射上的图结构的交换性，确保在 $X$ 和 $Y$ 上的函子性。
• 利用微分分次模的对称张量结构以及 $ olinebreak\operatorname{Hom}$-复形中微分的分次交换律。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $E_\infty$-代数范畴中通过导出函子对映射空间 $\operatorname{Map}(X,Y)$ 进行代数建模？
• RQ2 如何修改经典的 Eilenberg-Zilber 映射，使其与 $N^*(X) \otimes N^*(Y)$ 上的 $E_\infty$-代数结构相容？
• RQ3 是否存在一个导出除法函子 $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$，使得 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \xrightarrow{\sim} N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ 成立？
• RQ4 该导出除法函子的构造是否保持在 $X$ 和 $Y$ 上的函子性？
• RQ5 该模型能否通过 Postnikov 层叠归纳法从 Eilenberg-MacLane 空间推广至一般单纯集？

主要发现

• 导出除法函子 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ 与 $N^*\operatorname{Map}(X,Y)$ 拟同构，为映射空间提供了纯粹的代数模型。
• 该构造产生一个函子性态射 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L N_*(X) \to N^*\operatorname{Map}(X,Y)$，其在 $X$ 和 $Y$ 的态射下保持相容。
• 当 $Y = K(\mathbb{Z}/2,n)$ 时，该拟同构可直接建立，构成在 Postnikov 层叠上归纳论证的基础情形。
• Eilenberg-Zilber 映射 $N^*(X \times Y) \to N^*(X) \otimes N^*(Y)$ 不与 $E_\infty$-结构相容，但已构造一个同伦版本以恢复相容性。
• 左导出函子 $- \mathop{\oslash}^L N_*(X)$ 定义良好，并在 $X = S^1$ 时提供环路空间的模型，此时 $\Omega Y$ 可恢复为 $N^*(Y) \mathop{\oslash}^L \tilde{N}_*(S^1)$。
• 整个构造是函子性的，并尊重微分分次模的对称张量结构，确保了单纯与链级数据之间的相干性。