[论文解读] Derived equivalence and Grothendieck ring of varieties: the case of K3 surfaces of degree 12 and abelian varieties

Atsushi Ito, Makoto Miura+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用 15

一句话总结

本文研究了导出等价的代数簇是否在模某个Lefschetz类L = [A¹]的幂次后具有相同的Grothendieck环类。对于度数为12的非常一般K3曲面，本文证明了差值[X] − [Y]被某个L的幂次消去，从而在该情形下证实了该猜想。然而，对于维度大于1的阿贝尔簇，本文构造了反例，表明[X] − [Y]不被任何L的幂次消去，因此对一般问题给出了否定回答。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the problem of whether the difference $[X]-[Y]$ of the classes of a Fourier--Mukai pair $(X, Y)$ of smooth projective varieties in the Grothendieck ring of varieties is annihilated by some power of the class $\mathbb{L} = [ \mathbb{A}^1 ]$ of the affine line. We give an affirmative answer for Fourier--Mukai pairs of very general K3 surfaces of degree 12. On the other hand, we prove that in each dimension greater than one, there exists an abelian variety such that the difference with its dual is not annihilated by any power of $\mathbb{L}$, thereby giving a negative answer to the problem. We also discuss variations of the problem.

研究动机与目标

• 确定导出等价（傅里叶–穆凯伊）代数簇的差值[X] − [Y]是否在代数簇的Grothendieck环中被某个Lefschetz类L的幂次消去。
• 在代数闭域上，研究K3曲面度数为12及阿贝尔簇的背景下，问题1.2的有效性。
• 探讨该问题的变体，包括导出等价下楚瓦德动机与数值动机的行为。
• 考察导出等价的代数簇是否具有同构的楚瓦德动机或数值动机，特别是在阿贝尔簇与K3曲面的背景下。

提出的方法

• 通过其在正交格拉斯曼簇OG(5,10)中的实现，利用对偶性与导出等价技术，分析度数为12的K3曲面的导出范畴等价。
• 应用动机积分理论与Hochschild–Kostant–Rosenberg同构，将导出不变量与Hodge数及Grothendieck环类联系起来。
• 使用Gillet–Soulé动机测度µGS: K₀(Var/k)[L⁻¹] → K₀(CMₖ)，将Grothendieck环中的类与楚瓦德动机联系起来。
• 通过证明[A] − [bA]不被任何L的幂次消去，利用楚瓦德动机的同源不变性，在高维阿贝尔簇中构造显式反例。
• 在Grothendieck环中使用生成函数与幂结构，比较代数簇对称积的动机。
• 应用Orlov定理：阿贝尔簇的导出等价蕴含同源，通过生成函数与Tate扭转将其推广至对称积。

实验结果

研究问题

• RQ1 傅里叶–穆凯伊对(X,Y)的差值[X] − [Y]在乘以某个L的幂次后，是否在局部化Grothendieck环K₀(Var/k)[L⁻¹]中为零？
• RQ2 度数为12的导出等价K3曲面是否满足[X] − [Y]被某个L的幂次消去？
• RQ3 维度大于1的导出等价阿贝尔簇是否满足K₀(Var/k)[L⁻¹]中[X] − [Y] = 0？
• RQ4 导出等价的代数簇是否在动机的Grothendieck环中具有同构的楚瓦德动机或数值动机？
• RQ5 动机测度µGS是否将导出等价的代数簇映射为K₀(CMₖ)中同构的动机？

主要发现

• 对于非常一般的度数为12的K3曲面，差值[X] − [Y]被某个L的幂次消去，从而在该情形下对问题1.2给出了肯定回答。
• 在每个大于一的维度中，均存在阿贝尔簇A，使得[A] − [bA]不被任何L的幂次消去，因此对问题1.2给出了否定回答。
• 该反例依赖于同源阿贝尔簇具有同构楚瓦德动机，但其在K₀(Var/k)[L⁻¹]中的类非平凡地不同。
• 本文证明了对于任意复数域上的D-等价阿贝尔曲面A与B，所有正整数n满足[h(A[n])]与[h(B[n])]在K₀(CMₖ)中相等。
• 动机测度µGS将代数簇的类映射为其楚瓦德动机，且该映射保持幂结构，从而可比较生成函数。
• 通过生成函数与Tate扭转可证得，对于D-等价的阿贝尔曲面及其对称积，K₀(CMₖ)中[h(X)] = [h(Y)]成立。