[论文解读] Derived geometry of the first formal neighborhood of a smooth analytic cycle

Julien Grivaux|arXiv (Cornell University)|May 17, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文利用导出代数几何计算光滑解析子簇在其一阶无穷小加厚中的导出自交点。它将Hochschild-Kostant-Rosenberg同构推广至加厚空间上的任意层，通过H^2(X, Hom(V, I⊗V))中的上同调障碍建立形式性准则，将Arinkin-Căldăraru的结果推广至非局部自由层之外。

ABSTRACT

If $X$ is a smooth scheme of characteristic zero or a complex analytic manifold, and $S$ is a locally split infinitesimal thickening of $X$, we compute explicitly the derived self-intersection of $X$ in $S$.

研究动机与目标

• 将一阶加厚的光滑概形或复流形中导出自交点计算推广至非局部自由层之外。
• 将Arinkin与Căldăraru的形式性准则从局部自由层扩展至加厚空间上的任意凝聚层。
• 提供局部HKR类的内在构造，并将其与H^2(X, Hom(V, I⊗V))中的障碍类关联起来。
• 通过微分graded范畴中的模型范畴技术，建立导出下拉的导出等化器描述。
• 在一般层（而不仅限于局部自由层）的背景下，统一三种上同调障碍（主丛、截断三角形、Yoneda积）。

提出的方法

• 使用导出范畴与dg范畴来建模从加厚空间S到光滑子簇X的层的导出下拉。
• 在C^b(C) ⊗ C^b(C)^op上的dg模上应用Toën-Vaquié模型结构，以定义纤维化重排与导出函子。
• 通过沿对角映射i_n: X → X^n的右导出下拉R𝑖_n^*构造导出等化器，以在导出几何中建模纤维积。
• 使用迭代映射锥与张量函子描述有界复形上的dg自函子。
• 依赖八面体公理与导出等化器，识别截断三角形与障碍类。
• 通过Atiyah类与Kodaira-Spencer类的Yoneda积定义H^2(X, Hom(V, I⊗V))中的障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于一阶加厚上的任意凝聚层V，导出下拉Lj^*(j_*V)是形式的？
• RQ2 对于一般层（而不仅限于局部自由层），三种上同调障碍（主丛、截断三角形、Yoneda积）如何一致？
• RQ3 能否使用模型范畴技术显式计算光滑解析子簇在其第一形式邻域中的导出自交点？
• RQ4 在加厚空间上任意层的背景下，局部HKR类的内在几何意义是什么？
• RQ5 通过R𝑖_n^*构造的导出等化器如何在导出交集设定中恢复导出下拉？

主要发现

• 当V的Atiyah类与加厚的Kodaira-Spencer类的复合在H^2(X, Hom(V, I⊗V))中为零时，导出下拉Lj^*(j_*V)当且仅当是形式的。
• 对于X上的任意凝聚层V，三种上同调障碍（主丛、截断三角形、Yoneda积）在自然意义下是同构的，将Arinkin-Căldăraru的识别结果推广至非局部自由层。
• n重对角映射i_n: X → X^n的导出等化器通过dg模上的模型范畴结构，同构于导出下拉R𝑖_n^*(H^n)。
• 从导出等化器Δ̃_H^[n]到H^n的自然映射在dg模的模型范畴中是弱等价。
• 通过R𝑖_n^*构造的导出自交点提供了一个Lj^*(j_*V)的典范解析，其形式为迭代锥与纤维化重排的组合。
• 该结果在特征为零的域上的代数与解析设定中均成立，将经典HKR同构推广至一阶加厚上任意层。