[论文解读] The relative Riemann-Roch theorem from Hochschild homology

Ajay C. Ramadoss|ArXiv.org|Mar 6, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 42

一句话总结

本文通过霍赫希尔ト同调提供了相对黎曼-罗赫定理的详细计算性证明，澄清了马尔卡里安原始预印本的内容。它表明，经由Todd类的平方根扭的HKR映射‘几乎保持’霍奇上同调上的穆凯配对，从而在霍赫希尔特结构与霍奇结构之间建立了关键联系，并解决了卡尔达鲁猜想中关于这些结构等价性的一部分。

ABSTRACT

This write up attempts to clarify a preprint by Markarian [2] which proves This paper attempts to clarify a preprint of Markarian [2]. The preprint by Markarian [2] proves the relative Riemann-Roch theorem using a result describing how the HKR map fails to respect comultiplication. This paper elaborates on the core computations in [2]. These computations show that the HKR map twisted by the square root of the Todd genus "almost preserves" the Mukai pairing. This settles a part of a conjecture of Caldararu[3]. The relative Riemann-Roch theorem follows from this and a result of Caldararu[4].

研究动机与目标

• 澄清马尔卡里安关于相对黎曼-罗赫定理预印本的计算基础。
• 建立霍赫希尔特-科斯坦特-罗森伯格（HKR）映射与霍奇上同调上穆凯配对之间的精确关系。
• 解决关于光滑射影代数簇上霍赫希尔特结构与霍奇结构等价性的卡尔达鲁猜想中的一部分。
• 证明经由Todd类平方根扭的HKR映射几乎保持穆凯配对，其失效与该映射未能尊重复合乘法结构有关。
• 通过李理论类比，提供一个完整且透明的计算框架，以证明关键结果。

提出的方法

• 本文通过将标准HKR同构乘以Todd类的平方根，引入了一个扭的HKR映射。
• 它定义了RHom复形之间的对偶映射，将塞尔对偶性与霍赫希尔特同调结构联系起来。
• 关键计算基于定理2’及引理2–4，这些结果被证明与经典李理论中通过指数映射的拉回结果相一致。
• 证明使用了霍赫希尔特同调构造与李群论之间的‘词典’，特别是与exp和exp(−Z)下左不变形式的拉回相关。
• 本文在完成的霍赫希尔特链复形上构造并分析了两个联络，以推导主要定理。
• 它运用了第3节中的线性代数工具，包括自同态作用与对偶映射，以证明关键引理3与引理4。

实验结果

研究问题

• RQ1 HKR映射未能尊重复合乘法结构的失败，与黎曼-罗赫定理中Todd类的出现有何关系？
• RQ2 经由Todd类平方根扭的HKR映射在多大程度上保持霍奇上同调上的穆凯配对？
• RQ3 能否通过扭的HKR映射在霍奇上同调层面显式计算霍赫希尔特同调上的穆凯配对？
• RQ4 在导出范畴中，对偶映射、塞尔对偶性与扭的HKR同构之间的确切关系是什么？
• RQ5 李理论类比（例如，通过指数映射拉回不变形式）如何阐明霍赫希尔特同调中的核心计算？

主要发现

• 经由Todd类平方根扭的HKR映射‘几乎保持’霍奇上同调上的穆凯配对，其偏差由类似杜夫洛的误差项度量。
• 通过扭的HKR映射从穆凯配对导出的霍奇上同调上的配对满足预期的伴随性质，并与卡尔达鲁在Mukai向量上的穆凯配对一致。
• 本文提供了对定理2’（最初见于马尔卡里安[2]）的更正且详尽的证明，该定理描述了HKR映射未能尊重复合乘法结构的失败。
• 关键结果，即命题5，计算了穆凯配对在霍奇上同调上的下降，并表明其与卡尔达鲁原始配对不完全相同，从而解决了其猜想的一部分。
• 证明表明，相对黎曼-罗赫定理可由配对计算与霍赫希尔特同调上穆凯配对的伴随性推出，如卡尔达鲁[4]所证明。
• 本文构建了一个完整的霍赫希尔特同调构造与李理论计算之间的词典，特别是关联了exp与exp(−Z)下左不变形式的拉回，这构成了主要定理的基础。