[论文解读] Derived intersections over the Hochschild cochain complex

Márton Hablicsek|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文将光滑复概形 $X$ 的 1-平移余切丛 $T^*[1]X$ 中拉格朗日子流形的导出交的 BV-代数结构进行推广。结果表明，对量化拉格朗日子流形（特别是零截面与一个闭 1-形式的图像）的导出交，可得到扭曲余切丛的典范量化，从而验证了一条元原理：拉格朗日子流形的导出交的量化，与量化拉格朗日子流形的导出交一致。

ABSTRACT

The paper generalizes a result of Behrend-Fantechi and Baranovsky-Ginzburg to the 1-shifted cotangent bundle $T^*X[1]$ of a smooth scheme $X$ over the field of complex numbers. We show how one can obtain twisted cotangent bundles as derived intersections of Lagrangians in $T^*X[1]$, moreover and we show that the derived intersection of the quantized Lagrangians coincide with the canonical quantization of the twisted cotangent bundles.

研究动机与目标

• 将拉格朗日子流形在标准余切丛上的导出交的 BV-代数结构，推广至 1-平移余切丛 $T^*[1]X$。
• 证明 $T^*[1]X$ 中量化拉格朗日子流形的导出交可恢复为扭曲余切丛的典范量化。
• 为理解平移辛几何中导出交与量化之间的对偶性，提供范畴论与同调代数的框架。
• 验证元原理：拉格朗日子流形的导出交的量化，等于量化拉格朗日子流形的导出交。

提出的方法

• 利用 Costello-Li 框架对平移辛结构进行量化，特别关注 $-1$-平移与 $0$-平移情形。
• 在零截面 $Y = X \to T^*[1]X$ 与闭 1-形式 $\alpha \in H^1(X, \Omega^1_X)$ 的图像 $Z$ 上构造拉格朗日结构，要求 $d\alpha = 0$。
• 应用导出代数几何计算导出交 $W = Y \underset{T^*[1]X}{\overset{L}{\times}} Z$，证明其与 $X$ 上的扭曲余切丛拟同构。
• 建立导出张量积 $\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D_{X}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \otimes_{\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, {\mathscr{O}}_X)} \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D)$ 与 $X$ 上微分算子代数 $D$ 之间的拟同构，使用滤子代数技巧。
• 借助 étale 局部平凡化与 Weyl 代数关系，将 $D$-代数结构上移至导出张量积，证明该映射是 dg-代数的拟同构。
• 利用典范丛 $\omega_X \cong {\mathscr{O}}_X$ 的平凡化，将导出交与扭曲 de Rham 复形联系起来，从而关联到 BV-微分。

实验结果

研究问题

• RQ1 导出交的 BV-代数结构如何从标准余切丛推广至 1-平移余切丛 $T^*[1]X$？
• RQ2 能否将 $T^*[1]X$ 中量化拉格朗日子流形的导出交识别为扭曲余切丛的典范量化？
• RQ3 在 $T^*[1]X$ 上，零截面与闭 1-形式的图像在何种条件下允许拉格朗日结构？
• RQ4 这些量化拉格朗日子流形的导出交是否可恢复其交的结构层的 $\hbar$-形变？
• RQ5 是否存在一个普遍原理，使得导出交的量化等于量化拉格朗日子流形的导出交？

主要发现

• 在 $T^*[1]X$ 中，零截面与闭 1-形式 $\alpha$ 的图像的导出交 $W$，与 $X$ 上的扭曲余切丛拟同构，其扭曲由 $\alpha$ 决定。
• 导出交 $W$ 携带一个 $0$-平移辛结构，其量化自然构成一个 Batalin-Vilkovisky 代数。
• 导出张量积 $\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D_{X}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \otimes_{\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, {\mathscr{O}}_X)} \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D)$ 作为滤子结合代数，与 $X$ 上的微分算子代数 $D$ 拟同构。
• 导出交上的 BV-微分源于扭曲 de Rham 复形 $0 \to {\mathscr{O}}_X \xrightarrow{d + \wedge d\alpha} \Omega^1_X \to \cdots$，从而确认了 BV 结构。
• 该构造验证了元原理：拉格朗日子流形的导出交的量化，与量化拉格朗日子流形的导出交一致。
• 拟同构 $\chi: D \to \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D_{X}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \otimes_{\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, {\mathscr{O}}_X)} \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D)$ 是 dg-代数映射，且为滤子拟同构，从而在同伦范畴上建立了等价性。